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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 37

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Oiee galerinha, bora lá:

Para resolver o limite

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

vamos seguir os seguintes passos:

Analisar a forma indeterminada

Primeiro, observe o comportamento de x e ln ⁡ ( x ) quando x → 0 +

- x → 0

- ln ⁡ ( x ) → - ∞

O produto x ln ⁡ x toma a forma 0 ⋅ ( - ∞ ) , que é uma indeterminação.

Precisamos transformar essa expressão para aplicar a regra de L'Hospital ou outra técnica mais conveniente.

Passo 2

Vamos reescrever o limite

Vamos reescrever x ln ⁡ x   de forma a aplicar a regra de L'Hospital.

Uma maneira de fazer isso é usar a substituição:

x = e 1 / 2 ln ⁡ ( x )

Então, o limite se transforma em:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ e 1 2 ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( x )

Esta forma ainda é complicada para aplicar a regra de L'Hospital diretamente.

Vamos usar uma outra substituição para simplificar.

Passo 3

Substituição x = e - u

Vamos fazer a substituição x = e - u , onde u → ∞ quando x → 0 + .

Então:

- ln ⁡ ( x ) = ln ⁡ e - u = - u

- x = e - u = e - u 2

Substituindo na expressão original:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

= lim u → ∞ ⁡ e - u 2 ( - u )

lim x → ∞ ⁡ - u e - u 2  

Passo 4

Agora iremos aplicar a regra de L'Hospital

Agora, temos um limite na ∞ ⋅ 0 , que pode ser reescrito como uma fração para aplicar a regra de L'Hospital.

Vamos reescrever:

lim x → ∞ ⁡ - u e - u 2  

lim u → ∞ ⁡ - u e u 2

Aqui, temos a forma indeterminada - ∞ / ∞

Podemos aplicar a regra de L'Hospital, derivando numerador e denominador separadamente:

N u m e r a d o r   : d d u - u = - 1

D e n o m i n a d o r : d d u e u 2 = 1 2 e u 2

Aplicando a regra de L'Hospital:

lim u → ∞ ⁡ - u e u 2

lim u → ∞ ⁡ - 1 1 2 e u 2

lim u → ∞ ⁡ - 2 e u 2

Passo 5

Vamos avaliar o limite

lim u → ∞ ⁡ - 2 e u 2

Como e u 2   cresce exponencialmente, a fração - 2 e u 2 tende a 0 quando u → ∞ :

lim u → ∞ ⁡ - 2 e u 2

Portanto, o limite original é:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( x ) = 0

O limite lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( x ) = 0

A regra de L'Hospital foi aplicada de maneira apropriada após transformar a expressão original através de uma substituição conveniente.

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( x ) = 0

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Use um gráfico para estimar o valor do limite. Então use a Regra de L’Hospital para encontrar o valor exato. lim x → π 4 ⁡t g x t g 2 x
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x