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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 40

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Passo 1

Oi, oi, como vai você? Bora pra mais uma!

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Se fizermos x = 0 + :

L = 0 × ln ⁡ 0 +

Isto é,

L = 0 × - ∞

Opa, chegamos numa indeterminação o tipo 0 × - ∞ .

Para aplicar a regra de L’hospital devemos obter a indeterminação 0 / 0 ou ± ∞ / ± ∞ e então derivar o numerador e o denominador até retirarmos a indeterminação.

Nesse caso, como não chegamos nessas indeterminações, vamos tentar transformar essa expressão em uma fração.

Assim, vamos arrumar nosso limite para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

L = lim x → 0 + ⁡ s e n x ln ⁡ x

Passando o s e n ( x ) para baixo:

L = lim x → 0 + ⁡ l n x 1 sen ⁡ x

Se fizermos x = 0 + :

L 2 = - ∞ 1 0 + = - ∞ / ∞

Agora sim podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Vem comigo!

Passo 3

L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 s e n x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x s e n - 1 x

Aplicando a Regra de L’Hospital, vou derivar o numerador e o denominador.

L = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 s e n - 2 x ⋅ cos ⁡ x

Assim, arrumando os termos, temos:

L = lim x → 0 + ⁡ - s e n 2 x x c o s x

Agora vamos separar o limite da seguinte maneira:

L = - lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x ⋅ lim x → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ x = L 1 ⋅ L 2

Passo 4

Pra finalizar, iremos resolver esses limites separadamente. Como o segundo é mais simples, vamos começar com ele:

L 2 = lim x → 0 + ⁡ 1 cos ⁡ x

Fazendo x → 0 + :

L 2 = 1 cos ⁡ 0 = 1 1 = 1

E o primeiro limite fica:

L 1 = lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x

Nossa estratégia para resolver esse limite vai ser utilizar o limite trigonométrico fundamental, que diz que:

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Dessa forma, vamos multiplicar em cima e embaixo o nosso limite por x , ficando com:

L 1 = lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x 2 ⋅ x

Logo,

Como lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1 :

L 1 = lim x → 0 + ⁡ s e n 2 x x 2 ⋅ x = 1 2 0

Portanto, nosso limite vale:

L 1 = 0

Voltando para nosso limite L :

L = L 1 ⋅ L 2 = 0 ⋅ 1

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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