Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 59
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Oiee, tudo bem?
Para encontrar o limite
Vamos analisar a expressão passo a passo:
Vamos reescrever o limite em termos de exponencial
A forma atual
Sugere que podemos usar propriedades de logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão.
Vamos usar a transformação
Assim, o limite original pode ser reescrito como:
Passo 2
Vamos analisar o expoente
Precisamos avaliar o limite do expoente
medida que tende ao infinito.
Primeiro, simplificamos o argumento do logaritmo:
Passo 3
Aproximação do logaritmo
Para grande, é pequeno, e podemos usar a aproximação do logaritmo quando é pequeno:
Portanto,
Passo 4
Simplificação do produto
Simplificamos a expressão:
Quando tende ao infinito, se aproxima de :
Passo 5
Agora iremos avaliar o limite do expoente
Portanto,
Passo 6
Substituir de volta na forma exponencial
Agora substituímos de volta na expressão exponencial:
Portanto, o limite é:
O limite é .
Usamos uma abordagem mais elementar envolvendo propriedades de logaritmos e exponenciais para simplificar a expressão, evitando a necessidade de aplicar a regra de L'Hospital diretamente.