Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 27

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

Passo 1

Aqui nós temos a função

E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

Como não temos nenhuma restrição, o domínio da nossa função será

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

Se :

Passando para o outro lado e elevando ao cubo:

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

Vamos ver como fica o :

Logo,

Com . Então nossa função será ímpar, isto é, possui simetria com relação a origem.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

Assíntota horizontal:

Como a função cresce muito mais devagar que a função , podemos despreza-la. Assim,

Agora vamos analisar para

Fazendo a mesma simplificação:

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .

Assim,

Isto é,

Para ;

Elevando ao cubo:

Logo,

Logo, nossa função é crescente no intervalo ou

E portanto ela será decrescente nos demais intervalos, isso é, em .

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :

Passando para o outro lado e elevando ao cubo:

Logo,

Sendo que é um ponto de máximo, pois a função crescia antes dele e depois ela passa a decrescer, e é um ponto de mínimo, pois a função decrescia antes dele e depois ela passa a crescer.

Passo 7

Agora vamos analisar a concavidade nesses pontos que encontramos no Passo 6. Para isso, vamos ver o sinal de nesse ponto.

Derivando,

Avaliando o sinal dessa segunda derivada temos que os seguintes fatores são:

é positivo quando:

é sempre positivo.

Portanto, quando

E quando

Ou seja, a função é côncava para baixo em e ela é côncava para cima em

Dessa forma, é um ponto de inflexão.

Passo 8

Esboçando o gráfico de uma função que passa pela origem, possui um máximo em e um mínimo em , côncava para baixo para valores negativos de e côncava para cima para valores positivos de , temos o seguinte gráfico.