Encontre os limites quando e quando . Use essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 11.

Vamos começar com:

Podemos escrever:

Então:

Agora, calculando os limites individualmente:

Então:

Agora vamos calcular:

Olhando pra cada limite individualmente:

Então:

Show, bora começar a pensar no esboço do gráfico?!

Teremos um produto de parcelas, então quando qualquer uma dessas parcelas for igual a zero. Assim temos:

Agora vamos calcular quando a curva toca o eixo . Isso acontece quando :

Então temos os pontos .

Agora a gente vai pensar nas informações que a gente tem! Trazendo a função pra pertinho da gente também:

• Pra valores de muito grandes e negativos o vai pra infinito;
• Podemos separar o em intervalos separando por cada vez que a curva toca o eixo e pensar nos sinais de :
• A curva sai de e infinito e em a curva intercepta o eixo e troca de sinal;
• Em e a curva toca o eixo e o é negativo em todo o intervalo, então podemos deduzir que decresce, chega a um mínimo e depois cresce até tocar o eixo ;
• Como continua negativo, então pra a curva de novo, decresce, chega em um mínimo e cresce de novo até tocar no eixo em .
• Para o decresce e à medida que cresce tende a .
• Para temos um . Então podemos inferir que em o descrece, chega a um mínimo e depois volta a crescer, tocando o eixo em .
• A medida que cresce, vai pra infinito!
• Quando calculamos os limites a gente viu que o tendia pra infinito mas o era a multiplicação de infinitos. Isso significa que o sempre vai pra infinito mais rápido que o .

Só pra fazer um esboço mais bacana vamos calcular os pontos no meio dos intervalos:

Então:

Substituindo e calculando:

Não podemos cravar com certeza que o pontos mínimos ficam em e . Essa é só uma estimativa pra podemos saber qual ponto mínimo é mais negativo!

Finalmente podemos plotar a nossa curva:

Prontinho!!!