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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 3

Encontre a linearização L ( x ) da função em a.

3 - f (x) = sqrt(x) , a = 4

Passo 1

Opa, bora fazer essa questão! O enunciado nos da:

f (x) = sqrt(x)

E pede pra a gente encontrar a L ( x ) da função em a = 4 . A linearização de f em a é dada por:

L (x) = f (a) + f^' ( a ) ( x - a )

Bora colocar a mão na massa?!

Passo 2

Primeiramente devemos encontrar a derivada da função f ( x ) :

f (x) = sqrt(x) = x^((1)/(2))

f^' (x) = (1)/(2) x^((1)/(2) - 1)

f^' (x) = (x^(- (1)/(2)))/(2)

Vamos utilizar a regrinha de matemática básica onde: x^(- (1)/(2)) = (1)/(x^((1)/(2))) = (1)/(sqrt(x)) , logo:

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(x))

Agora precisaremos encontrar f (4) e f^' (4) . Para isto basta substituir nas funções do passo anterior, observe:

f (4) = sqrt(4) = 2

f^' (4) = (1)/(2 sqrt(4)) = (1)/(4)

Passo 3

Agora poderemos achar L ( x ) :

L (x) = f (a) + f^' ( a ) ( x - a )

Substituindo teremos:

L (x) = 2 + (1)/(4) (x - 4)

L (x) = 2 + (x)/(4) - 1

Chegamos em:

L (x) = (x)/(4) + 1

Prontinho!

Resposta

L (x) = (x)/(4) + 1

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