Encontre a linearização L(x) da função em a.

1 - f(x) = x^4 + 3x^2, a = -1

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certinho com você?

Essa questão pede pra gente linearizar a função:

f x = x 4 + 3 x 2

Para

a = - 1

E para isso precisaremos fazer:

L x = f a + f ' a x - a

Ou seja, precisamos da deivada de f x aplicada a x = a , e depois aplicaremos essa regrinha aí.

Passo 2

Primeiramente devemos encontrar a derivada da função, utilizando a regra do expoente.

f x =   x n   e   f ' x =   n ⋅ x n - 1

Assim:

f x = x 4 + 3 x 2

e

f ' x = 4 x 4 - 1 + 2 ⋅ 3 x 2 - 1

O que nos dará:

f ' x = 4 x 3 + 6 x

Passo 3

Agora precisaremos encontrar f - 1   e   f ' ( - 1 )

Para isso, basta substituir nas funções do passo anterior, observe:

f - 1 = - 1 4 + 3 - 1 2

f - 1 = 4

Agora encontrando:

f ' - 1 = 4 - 1 3 + 6 ⋅ - 1

f ' - 1 =   - 10

Show.

Passo 4

Agora poderemos achar L ( x ) realizando o seguinte procedimento:

f - 1 + f ' - 1 ⋅ ( x - a )

Substituindo teremos:

L x =   4 - 10 x - - 1

L x = 4 - 10 x - 10

L x =   - 10 x - 6

Apenas para análise segue o gráfico da função e da linearização que é a tangente em torno do ponto a   =   - 1 .

Resposta

L x =   - 10 x - 6

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