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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.11 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-5, determine a linearização L(x) de f(x) em ( x - a ) .

5-

f x = t g   x   ,   a = π

Passo 1

Dessa vez precisamos derivar a função tangente e para isso precisamos saber a regra do quociente.

Regra do quociente:

a x b x ' = a ' b - a b ' b 2

Pois a função tangente pode ser escrita da seguinte forma:

t g   x = sin ⁡ x cos ⁡ x

Agora aplicando a regra do quociente:

t g ' x =   s i n x ' . c o s x - s i n x . c o s x ' cos 2 ⁡ x = c o s x cos ⁡ x -   s i n x × - s i n x cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Logo nossa derivada da tangente é:

t g ' x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Passo 2

Aplicando a na função dada:

f π = t g π = sin ⁡ π cos ⁡ π   o u   sin ⁡ 180 cos ⁡ 180 = 0 - 1 = 0  

Agora aplicando o valor de a na função derivada temos:

f ' π = 1 cos 2 ⁡ π = 1 - 1 2 = 1

Agora multiplicando o resultado da função derivada por (x-a) temos:

1 x - π = x - π

Passo 3

Juntando tudo temos:

L x = 0 + x - π

Resposta

L x = x - π

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Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . Então determine os valores de x para os quais a aproximação linear é precisa dentro de 0,1. 1 - x 3 ≈ 1 - 1 3 x
Use o método de Newton com a aproximação inicial especificada x 1 para encontrar x 3 , a terceira aproximação para a raiz da equação dada. (Responda com quatro casas decimais). 2 x 3 - 3 x 2 + 2 = 0 ;
Linearize a função: f x = x 3 - x 2 + 3 ,a = - 2
Linearize a função: f x = 2 x , a = 0
8) Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1. t gx ≈ x