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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 7

Encontre a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ .

D   é   l i m i t a d a   p o r   y = 1 - x 2   e     y = 0 ; ρ x , y = k y

Passo 1

Fala, turma! Tudo show?

A questão quer a massa m e o centro de massa x - ,   y - da lâmina com densidade:

ρ x , y = k y Ocupando a região D , onde:

D   é   l i m i t a d a   p o r   y = 1 - x 2   e     y = 0

Para encontrar a massa da lâmina aplicamos a integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

E para o centro de massa precisamos achar o valor de:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

E:

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Então, nosso objetivo é calcular essas 3 integrais, primeiro calculando seus limites de integração, que vamos tirar da região D .

Lembrando que:

d A = d x   d y

Vamo lá!

Passo 2

Vamos encontrar os limites de integração para x e y na região D .

D   é   l i m i t a d a   p o r   y = 1 - x 2   e     y = 0

Veja que o próprio enunciado já diz entre quais valores y   está.

Os limites de y são de 0 a 1 - x 2 . Vamos encontrar os limites de x igualando usando as duas equações de y . Como y = 1 - x 2   e     y = 0 , substituindo o y uma equação em outra:

1 - x 2 = 0

x 2 = 1

x = 1

x = ± 1

Então temos que nossos limites de integração serão:

- 1 ≤ x ≤ 1

E:

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Passo 3

Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:

m = ∬ D ρ x , y d A

Observando novamente a figura podemos dizer que:

D = - 1 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 - x 2

E fazendo:

d A = d x   d y

A nossa integral vai ser:

m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y d y d x

Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:

∫ 0 1 - x 2 k y d y = k y 2 2 0 1 - x 2

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 - x 2 k y d y = k 1 - x 2 2 2 - 0 2 2

Simplificando:

∫ 0 1 - x 2 k y d y = k 2 1 + 4 x 4 - 2 x 2

Substituindo na integral de fora, temos:

m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y d y d x = ∫ - 1 1 k 2 1 + 4 x 4 - 2 x 2 d x

Resolvendo, temos:

m = ∫ - 1 1 k 2 1 + 4 x 4 - 2 x 2 d x = k 2 x + 4 x 5 5 - 2 x 3 3 - 1 1

Aplicando os limites de integração:

m = k 2 1 + 1 5 - 2 3 - - 1 - 1 5 + 2 3

Realizando as operações e simplificações:

m = 16 k 30 = 8 k 15

Portanto a massa da lâmina é:

m = 8 k 15

Passo 4

O centro de massa da lâmina que ocupa a região D e que possui função de densidade ρ x , y é:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Aqui, m é justamente nossa massa, que acabamos de achar no passo anterior:

Resolvendo x - , temos:

x - = 1 8 k 15 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 x k y d y d x

Fazendo a divisão de frações da constante para fora da nossa integral:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 x k y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k x y 2 2 0 1 - x 2   d x

Agora, aplicamos os limites de integração:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k x 1 - x 2 2 2   d x

Abrindo a fatoração 1 - x 2 2 = 1 + x 4 - 2 x 2 e colocando k para fora, já que é constante:

x - = 15 k 8 k ∫ - 1 1 x 1 + x 4 - 2 x 2 2   d x

Agora a integral de fora:

x - = 15 8 x 2 2 + x 6 6 - 2 x 4 4 - 1 1

Aplicando os limites de integração:

x - = 15 8 1 2 + 1 6 - 1 2 - 1 2 + 1 6 - 1 2

Então, a coordenada de x do nosso ponto do centro de massa da lâmina será:

x - = 0

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para encontrar y - , resolver:

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Aqui, m é justamente nossa massa, que acabamos de achar no passo anterior. Resolvendo y - , temos:

y - = 1 8 k 15 ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 y k y d y d x

Fazendo a divisão de frações da constante para fora da nossa integral:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 y k y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k y 3 3 0 1 - x 2   d x

Aplicando os limites de integração:

x - = 15 8 k ∫ - 1 1 k 1 - x 2 3 3   d x

Aplicando a fatoração: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

x - = 15 k 8 k ∫ - 1 1 1 3 1 - 3 x 2 + 3 x 4 - x 6   d x

Agora a integral de fora:

x - = 15 24 x - x 3 + 3 5 x 5 - x 7 7 - 1 1

Aplicamos os limites de integração:

x - = 15 24 1 - 1 + 3 5 - 1 7 - - 1 + 1 - 3 5 + 1 7

Fazendo as operações:

y - = 15 24 32 35

Então, a coordenada de y do nosso ponto do centro de massa da lâmina será:

y - = 4 7

Portanto o centro de massa é o ponto:

x - ,   y - = 0 , 4 7

Resposta

m = 8 k 15

x - ,   y - = 0 , 4 7

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