Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 1
Determine a área da superfície.
A parte do plano que está acima do retângulo
Passo 1
E aí, turma! Tudo tranquilo?
O exercício quer a área de superfície do plano:
que está acima do retângulo
Vamos utilizar para esse exercício a relação para área da superfície dada por:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
Também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano .
Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Vem ver o passo a passo!
Passo 2
Temos então que encontrar as derivadas parciais e . Temos que:
Derivando em relação a , tratamos o termo de como constante.
Derivando em relação a , tratamos o termo de como constante.
Com isso, temos:
Passo 2
Vamos entender nossa região de integração. Nos é dado que a variação de cada coordenada é ditada pelo retângulo , assim temos que
Aplicando então a nossa integral dupla para a área e substituindo os valores, temos que
Somando os termos dentro do radical e tirando para fora da integral, já que é constante:
Resolvendo as integrais:
Aplicando os limites de integração:
Então: