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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 10

Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela.

f x = tg - 1 ⁡ x ,                     a = 1

Passo 1

Neste caso, consegue ver que as derivadas vão ficar um pouco complicadas com o aumento de n ? Então não vamos buscar um padrão para a série, vamos só calcular os termos com n = { 0,1 , 2,3 } , que vai nos dar o T 3 direto.

Então derivando e substituindo x = 1 que é o nosso centro

f = tg - 1 ⁡ x ⇒ f 1 = π 4

f ' = 1 1 + x 2 ⇒ f ' 1 = 1 2

f ' ' = - 2 x 1 + x 2 2 ⇒ f ' ' 1 = - 1 2

f ' ' ' = - 2 1 + x 2 2 + 4 x 2 x 1 + x 2 3 = - 2 1 + x 2 2 + 8 x 2 1 + x 2 3 ⇒ f ' ' ' 1 = - 1 2 + 1 = 1 2

Passo 2

Como temos as derivadas no centro x = 1 das três primeiras derivadas, respeitando a fórmula da série de Taylor

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Para calcularmos T 3 precisamos apenas do grau 3 e inferiores, então temos que

T 3 = π 4 + 1 2 ( x - 1 ) - 1 2 ⋅ 2 ! ( x - 1 ) 2 + 1 2 ⋅ 3 ! ( x - 1 ) 3

T 3 = π 4 + 1 2 ( x - 1 ) - 1 4 ( x - 1 ) 2 + 1 12 ( x - 1 ) 3

Passo 3

Traçando a função e T 3 no plano

De vermelho temos a função f e em cinza T 3 .

Resposta

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Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.2
Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para f ( x ) centrada no valor dado de a . Para a série: f x = x e x ,a = 0
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