Determine a área exata da superfície

z = 1 + x + y + x^2 , -2 ≤ x ≤ 1 , -1 ≤ y ≤ 1

Passo 1

E aii, belezinha?

Nessa questão vamos precisar calcular a área de uma superfície do tipo z = f x , y .

Pra calcular isso, usamos a fórmula:

A S = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d A

Onde D é o domínio do gráfico que gera S .

A gente vai começar pegando esse f pra calcular as derivadas parciais.

Dai, montamos a integral dessa fórmula, e com o domínio D transformamos ela em uma integral iterada.

Por último, vamos usar um software (no caso, o WolframAlpha) pra definir o valor dessa integral.

Passo 2

A equação que define a superfície é:

z = 1 + x + y + x 2

Então essa vai ser nossa função f :

f x , y = 1 + x + y + x 2

As derivadas parciais nós calculamos mantendo uma variável como constante e derivando em função da outra.

Primeiro em função de x :

f x = ∂ 1 + x + y + x 2 ∂ x = 1 + 2 x

Agora em função de y :

f y = ∂ 1 + x + y + x 2 ∂ y = 1

Vamos colocar isso na fórmula:

A S = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d A

A S = ∬ D 1 + 1 + 2 x 2 + 1 2 d A

Então:

A S = ∬ D 2 + 1 + 2 x 2 d A

Passo 3

O domínio de integração D é:

- 2 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 1

Então a integral iterada fica assim:

A S = ∫ - 1 1 ∫ - 2 1 2 + 1 + 2 x 2 d x d y

Agora vamos colocar essa integral no WolframAlpha:

s i n h - 1 é a função inversa do seno hiperbólico – chamamos de arco seno hiperbólico ( a r c s i n h ).

Então:

A S = 3 11 + 2 arcsinh ⁡ 3 2

Resposta

A S = 3 11 + 2 arcsinh ⁡ 3 2

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