Determine a área exata da superfície z = 1 + x + y + x 2 , - 2 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 1

Enunciado

E aii, belezinha?

Nessa questão vamos precisar calcular a área de uma superfície do tipo .

Pra calcular isso, usamos a fórmula:

Onde é o domínio do gráfico que gera .

A gente vai começar pegando esse pra calcular as derivadas parciais.

Dai, montamos a integral dessa fórmula, e com o domínio transformamos ela em uma integral iterada.

Por último, vamos usar um software (no caso, o WolframAlpha) pra definir o valor dessa integral.

A equação que define a superfície é:

Então essa vai ser nossa função :

As derivadas parciais nós calculamos mantendo uma variável como constante e derivando em função da outra.

Primeiro em função de :

Agora em função de :

Vamos colocar isso na fórmula:

Então:

O domínio de integração é:

Então a integral iterada fica assim:

Agora vamos colocar essa integral no WolframAlpha:

é a função inversa do seno hiperbólico – chamamos de arco seno hiperbólico ().

Então: