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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 10

Encontre a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ .

D   é   l i m i t a d a   p e l a s   c u r v a s   y = 0   e   y = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2 ; ρ x , y = y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A questão quer a massa m e o centro de massa x - ,   y - da lâmina com densidade:

ρ x , y = y

Ocupando a região D , onde:

D   é   l i m i t a d a   p e l a s   c u r v a s   y = 0   e   y = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2

Para encontrar a massa da lâmina aplicamos a integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

E para o centro de massa precisamos achar o valor de:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

E:

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Então, nosso objetivo é calcular essas 3 integrais, primeiro calculando seus limites de integração, que vamos tirar da região D .

Lembrando que:

d A = d x   d y

Bora lá!

Passo 2

Nós temos como descrição da região D :

D   é   l i m i t a d a   p e l a s   c u r v a s   y = 0   e   y = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2

Procurando os limites de integração, temos que: os limites de y são de 0 a cos ⁡ x e os limites de x de - π 2 a π 2 . Podemos dizer que:

D = - π 2 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ cos ⁡ x

Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:

m = ∬ D ρ x , y d A

Substituindo as variáveis, a nossa integral vai ser:

m = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x y d y d x

Repare que deixamos “por dentro” a integral d y   pois seu limite de integração depende de x ( cos ⁡ x   ) . Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:

∫ 0 cos ⁡ x y d y = y 2 2 0 cos ⁡ x

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 cos ⁡ x y d y = cos 2 ⁡ x 2

Substituindo na integral de fora, temos:

m = ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x y d y d x = ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x 2 d x

Resolvendo, temos:

m = ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x d x

Aqui como temos limites de integração opostos e simétricos na função cosseno, ( π 2 e - π 2 ) , calcular a integral desses limites é a mesma coisa de calcular a integral de duas vezes a origem até π 2 .

m = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 cos 2 ⁡ x d x = 2 1 2 ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

m = ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x = x 2 + 1 2 sen ⁡ 2 x 2 0 π / 2

Aplicando os limites de integração:

m = π 4 + 1 4 sen ⁡ 2 π 2

m = π 4 + 0

Portanto a massa da lâmina é:

m = π 4

Passo 3

O centro de massa da lâmina que ocupa a região D e que possui função de densidade ρ x , y é:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Onde m é justamente nossa massa, que acabamos de encontrar no passo acima.

Resolvendo x - , temos:

x - = 1 π 4 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x x y d y d x

Resolvendo a integral de dentro, integramos em relação a y e tratamos o x como constante:

x - = 1 π 4 ∫ - π / 2 π / 2 x y 2 2 0 cos ⁡ x d x

Aplicando os limites de integração e substituindo na integral de fora, temos:

x - = 4 π ∫ - π / 2 π / 2 x cos 2 ⁡ x 2 d x = 4 2 π ∫ - π / 2 π / 2 x cos 2 ⁡ x d x

Temos que:

∫ - π / 2 π / 2 x cos 2 ⁡ x d x = 0

Logo:

x - = 0

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para encontrar y - , resolver:

y - = 1 π 4 ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 cos ⁡ x y 2 d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

y - = 4 π ∫ - π / 2 π / 2 y 3 3 0 cos ⁡ x d x

Substituindo os limites de integração:

y - = 4 3 π ∫ - π / 2 π / 2 cos 3 ⁡ x d x

Como:

cos ⁡ 3 x = 4 cos 3 ⁡ x - 3 cos ⁡ x

3 cos ⁡ x + cos ⁡ 3 x = 4 cos 3 ⁡ x

Temos que:

y - = 4 3 π ∫ - π / 2 π / 2 1 4 cos ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ x d x

Aqui fazemos aquele mesmo processo: Aqui como temos limites de integração opostos e simétricos na função cosseno, ( π 2 e - π 2 ) , calcular a integral desses limites é a mesma coisa de calcular a integral de duas vezes a origem até π 2 .

4 3 π ∫ 0 π / 2 2 ⋅ 1 4 cos ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ x d x = 8 3 π ∫ 0 π / 2 1 4 cos ⁡ 3 x + 3 cos ⁡ x d x

Resolvendo a integral:

y - = 2 3 π sin ⁡ 3 x 3 + 3 sin ⁡ x 0 π / 2

Aplicando os limites de integração:

y - = 2 3 π 1 3 - 1 + 3

Simplificando os termos:

y - = 2 3 π 3 - 1 3

y - = 2 3 π ⋅ 8 3

y - = 16 9 π

Portanto o centro de massa é o ponto:

0 , 16 9 π

Resposta

m = π 4

x - ,   y - = 0 , 16 9 π

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