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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 9

Encontre a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ .

D   é   l i m i t a d a   p e l a s   c u r v a s   y = e - x ,   y = 0 ,   x = 0 ,   x = 1 ; ρ x , y = x y

Passo 1

E a��, amiguinhos! Tranquilidade?

A questão quer a massa m e o centro de massa x - ,   y - da lâmina com densidade:

ρ x , y = x y Ocupando a região D , onde:

D é limitada pelas curvas y = e - x ,   y = 0 ,   x = 0 ,   x = 1

Para encontrar a massa da lâmina aplicamos a integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

E para o centro de massa precisamos achar o valor de:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

E:

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Então, nosso objetivo é calcular essas 3 integrais, primeiro calculando seus limites de integração, que vamos tirar da região D .

Lembrando que:

d A = d x   d y

Mão na massa!

Passo 2

Vamos começar encontrando nossos limites de integração.

D é limitada pelas curvas y = e - x ,   y = 0 ,   x = 0 ,   x = 1

Bom, aqui o próprio enunciado já nos dá os 4 limites de integração, 2 para x e 2 para y . Então, teremos:

0 ≤ x ≤ 1

E:

0 ≤ y ≤ e - x

Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:

m = ∬ D ρ x , y d A

Podemos dizer que:

D = 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ e - x

A nossa integral vai ser:

m = ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x y d y d x

Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:

∫ 0 e - x x y d y = x y 2 2 0 e - x

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 e - x x y d y = x e - x 2 2

Fazendo a multiplicação de expoentes:

∫ 0 e - x x y d y = x e - 2 x 2

Substituindo na integral de fora, temos:

m = ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x y d y d x = ∫ 0 1 x e - 2 x 2 d x

Resolvendo, temos:

m = ∫ 0 1 x e - 2 x 2 d x = 1 2 x e - 2 x - 2 - ∫ 1 e - 2 x 2 d x 0 1

m = ∫ 0 1 x e - 2 x 2 d x = 1 2 x e - 2 x - 2 - e - 2 x 4 0 1

Aplicando os limites de integração:

m = 1 2 1 e - 2 1 - 2 - 1 e - 2 1 4 - 0 e - 2 0 - 2 + 1 e - 2 0 4

Realizando as operações dentro dos colchetes:

m = 1 2 - e - 2 2 - e - 2 4 + 1 4

Simplificando, ficamos com:

m = 1 8 1 - 3 e - 2

Portanto a massa da lâmina é:

m = 1 8 1 - 3 e - 2

Passo 3

O centro de massa da lâmina que ocupa a região D e que possui função de densidade ρ x , y é:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Aqui, m é justamente nossa massa, que acabamos de achar no passo anterior. Resolvendo x - , temos:

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x ( x y ) d y d x

Multiplicando x ⋅ x = x 2 :

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x 2 y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x 2 y 2 2 0 e - x d x

Aplicando os limites de integração:

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x 2 e - x 2 2 d x

x - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x 2 e - 2 x 2 d x

Agora a integral de fora:

x - = 1 2 1 8 1 - 3 e - 2 x 2 e - 2 x - 2 - ∫ 0 1 2 x e - 2 x - 2 d x 0 1

Aplicando os limites de integração:

x - = 1 2 1 8 1 - 3 e - 2 x 2 e - 2 x - 2 - x e - 2 x - 2 - e - 2 x 4

Fazendo a subtração de frações dentro dos colchetes:

x - = 8 2 1 - 3 e - 2 1 - 5 e - 2 4

Então, a coordenada de x do nosso ponto do centro de massa da lâmina será:

x - = 1 - 5 e - 2 1 - 3 e - 2

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para encontrar y - , resolver:

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x y ( x y ) d y d x

Multiplicando x ⋅ x = x 2 :

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 e - x x y 2 d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x y 3 3 0 e - x d x

Aplicando os limites de integração:

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x e - x 3 3 d x

y - = 1 1 8 1 - 3 e - 2 ∫ 0 1 x e - 3 x 3 d x

Agora a integral de fora:

y - = 1 3 1 8 1 - 3 e - 2 x e - 3 x - 3 - e - 3 x 9 0 1

Aplicando os limites de integração:

y - = 1 3 1 8 1 - 3 e - 2 e - 3 - 3 - e - 3 9 + 1 9

Simplificando e resolvendo as operações:

y - = 8 27 1 - 3 e - 2 1 - 4 e - 3

Então, a coordenada de y do nosso ponto do centro de massa da lâmina será:

y - = 8 1 - 4 e - 3 27 1 - 3 e - 2

Portanto o centro de massa é o ponto:

x - ,   y - = 1 - 5 e - 2 1 - 3 e - 2 , 8 1 - 4 e - 3 27 1 - 3 e - 2

Resposta

m = 1 8 1 - 3 e - 2

x - ,   y - = 1 - 5 e - 2 1 - 3 e - 2 , 8 1 - 4 e - 3 27 1 - 3 e - 2

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