Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 5
Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície , ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a superfície da caixa limitada pelos planos coordenados e os planos , e .
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo bem?
A questão quer que a gente calcule a integral de superfície
Onde:
E é a superfície da caixa limitada pelos planos coordenados e os planos
O Teorema do Divergente diz que:
Ou seja, o fluxo de pela fronteira de é igual a integral tripla da divergência de sobre a mesma fronteira .
Então, nós vamos precisar calcular o divergente de dado por:
E calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração que o enunciado nos deu! Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar pelo cálculo do divergente:
A função campo é do tipo:
Como nosso campo tem a equação:
Nossos termos são:
Aplicando na equação do divergente:
Ficamos com:
Realizando cada derivada parcial, temos:
Passo 3
Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!
Como sabemos:
Então, precisamos dos limites de integração para cada variável. No nosso caso, o enunciado diz que nossa caixa está limitada pelos planos coordenados, que são os planos:
E os planos:
Juntando essas informações, nossos limites de integração são:
Então, podemos escrever:
Separando a integral do produto como um produto de integrais, cada qual com seus limites e variáveis de integração:
Resolvendo nossas integrais:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
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