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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 25

Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada.

D está limitada pelo laço direito da rosácea de quatro folhas r = cos ⁡ 2 θ ; ρ x , y = x 2 + y 2

Passo 1

Opa, mestre do raciocínio! Preparado para encarar essa questão de cálculo? Vamos arrasar!

Essa questão nos pede para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D limitada pelo laço direito da rosácea de quatro folhas r = cos ⁡ 2 θ ; ρ x , y = x 2 + y 2 .

Para resolvê-la, vamos seguir um processo sistemático que inclui a explicação dos conceitos envolvidos, a mudança de coordenadas, a utilização de um software de computação algébrica, e a explicação detalhada dos cálculos dos momentos de inércia. Vamos começar:

Primeiro, precisamos lembrar as definições para massa, centro de massa e momentos de inércia de uma lâmina com densidade variável.

  • Massa ( m ):

    • m = ∬ D ρ x , y d A

    Onde ρ x , y é a densidade e d A é o elemento de área.

  • Centro de Massa ( x ¯ , y ¯ ) :

    • x ¯ = 1 m ∬ D x   ρ x , y d A

    y ¯ = 1 m ∬ D y   ρ x , y d A

  • Momentos de Inércia em relação aos eixos x e y ( I x e I y ) :

I x = ∬ D x 2 ρ x , y d A  

I y = ∬ D y 2 ρ x , y d A  

Passo 2

Primeiro, identificamos a região D dada pela rosácea de quatro folhas r = cos ⁡ ( 2 θ ) . A região D está limitada por 0 ≤ r ≤ cos ⁡ ( 2 θ ) e - π 4 ≤ θ ≤ π 4 .

A densidade é ρ x , y = x 2 + y 2 . Em coordenadas polares, x = r   cos ⁡ ( θ ) e y = r  sen ⁡ ( θ ) , e temos:

ρ r , θ = r 2

A transformação de coordenadas cartesianas para polares implica que d A = r   d r   d θ .

Então, a massa é:

m = ∬ D ρ x , y d A = ∬ D x 2 + y 2 d A

= ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 2   r   d r   d θ = = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 3     d r   d θ

Utilizando um software de computação algébrica (como o Wolfram Alpha, Mathematica ou Maple), obtemos:

m = 3 π 64

Passo 3

Agora vamos determinar o centro de massa. Primeiro em x ¯ :

x ¯ = 1 m ∬ D x ρ x , y d A = 1 m ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ ( r cos ⁡ θ ) r 2   r   d r   d θ

1 3 π 64 ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 4 cos ⁡ θ   d r   d θ = 64 3 π ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 4 cos ⁡ θ   d r   d θ

Usando o Software de computação algébrica, temos

x ¯ = 16384 2 10395 π

Já para y ¯ :

y ¯ = 1 m ∬ D y ρ x , y d A = 1 m ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ ( r sen ⁡ θ ) r 2   r   d r   d θ

= 1 3 π 64 ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 4 sen ⁡ θ   d r   d θ =   64 3 π ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 4 sen ⁡ θ   d r   d θ

Usando o software, obtemos:

y ¯ = 0

Portanto, o centro de massa é:

x ¯ , y ¯ = 16384 2 10395 π , 0

Passo 4

Agora iremos calcular o momento de inércia:

Para I x :

I x = ∬ D y 2 ρ x , y d A = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r   s e n   θ 2 r 2   r   d r   d θ  

= ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 5   s e n 2 θ   d r   d θ

Usando o software, obtemos:

I x = 5 π 384 - 4 105

Agora pra I y :

I y = ∬ D x 2 ρ x , y d A = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r   c o s   θ 2 r 2   r   d r   d θ

= ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ r 5 cos 2 ⁡ θ   d r   d θ

Usando o software, obtemos:

I y = 5 π 384 + 4 105

Finalmente, o momento de inércia total I 0 é a soma de I x e I y :

I 0 = I x + I y = 5 π 192

Resposta

m = 3 π 64

x ¯ , y ¯ = 16384 2 10395 π , 0

I 0 = I x + I y = 5 π 192

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