Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f(p, q, r) = arc_tan(pqr, 1, 2, 1)

Passo 1

Fala ai galerinha! De boa? Se liga na questão e como podemos resolver!

O objetivo da questão é determinar a taxa de variação máxima da função f p ,   q ,   r = a r c tan ⁡ p q r ​no ponto ( 1,2 , 1 ) e identificar a direção em que essa máxima variação ocorre.

Para resolver isso

  • Utilizamos o conceito de gradiente, que nos fornece a direção na qual a função cresce mais rapidamente, e a magnitude do gradiente nos dá a taxa de variação máxima da função nessa direção específica.
  • Calculamos o gradiente de f e determinamos o vetor unitário na direção do gradiente para encontrar a direção de máxima variação.
  • Calculamos a magnitude do gradiente para obter a taxa de variação máxima da função no ponto especificado.

Passos dado, agora vamos resolver!

Passo 2

A taxa de variação máxima de f ocorre quando a derivada direcional D u f é ∇ f , ou seja, basta encontrarmos o gradiente de f no ponto dado e depois tirar seu módulo pelo teorema de Pitágoras! O gradiente é dado por:

∇ f = f p ,   f q ,   f r

Que são nada mais, nada menos do que as derivadas parciais de f . Descobrindo essas derivadas:

f p ,   q ,   r = a r c tan ⁡ p q r

Para f p

d f d p = d d p a r c tan ⁡ p q r

Pela Regra da Cadeia

d f d p = 1 1 + p q r 2 ∙ q r

f p = q r 1 + p q r 2

Passo 3

Para f q

d f d q = d d q a r c tan ⁡ p q r

Pela Regra da Cadeia

d f d q = 1 1 + p q r 2 ∙ r p

f q = p r 1 + p q r 2

Passo 4

Para f r

d f d r = d d r a r c tan ⁡ p q r

Pela Regra da Cadeia

d f d r = 1 1 + p q r 2 ∙ p q

f r = p q 1 + p q r 2

Passo 5

O gradiente será:

∇ f p ,   q ,   r = q r 1 + p q r 2 ,   p r 1 + p q r 2 , p q 1 + p q r 2  

O enunciado pede o gradiente no ponto 1 ,   2 ,   1 , então:

∇ f 1 ,   2 ,   1 = 2.1 1 + 2 2 ,   1.1 1 + 2 2 , 1.2 1 + 2 2  

∇ f 1 ,   2 ,   1 = 2 5 , 1 5 , 2 5  

Passo 6

Sendo assim, a taxa de variação máxima de f será em:

∇ f 1 ,   2,1 = 2 5 2 + 1 5 2 + 2 5 2

∇ f 1 ,   2,1 = 4 25 + 1 25 + 4 25

∇ f 1 ,   2,1 = 9 25

∴ ∇ f 1 ,   2,1 = 3 5

Na direção 2 5 , 1 5 , 2 5   . A taxa de variação máxima de f no ponto ( 8,1 , 3 ) .

E está aí nosso resultado 😊!

Resposta

∇ f 1 ,   2,1 = 3 5

Na direção 2 5 , 1 5 , 2 5  

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Seja F → a forçado exercício anterior. Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição (1,0) com velocidade v0(0,2) . Sendo F → a única força atuando sobre a partícula . Determine a posição γ(t) = (x
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Seja U(x, y) = 2 * x^2 + 1 / 2 * y^2 a função energia potencial associada ao campo F → Determine F →