Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 19
Encontre os valores máximo e mínimo locais de usando ambos os Testes das Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere?
Passo 1
Eaee, belezinha??
Bom, nessa questão teremos que encontrar os valores máximo e mínimo locais da seguinte função:
E o problema pede pra gente fazer isso de dois modos diferente, usando o Testes das Primeira derivada e o teste da Segunda Derivadas. Então vamos relembrar cada um deles.
No teste da Primeira primeira derivada lembraremos que a derivada de uma função é igual a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Assim, Se:
Então a ideia é achar os pontos críticos fazendo a derivada igual a zero, e depois analisar o sinal da derivada em pontos antes e depois do ponto crítico.
Se ela era positiva antes e negativa depos é porque a função subiu, encontrou seu valor MÁXIMO e depois desceu.
Se ela era negativa antes e positiva depos é porque a função desceu, encontrou seu valor MÍNIMO e depois subiu.
Sacou?!
Já o teste da derivada segunda serve para analisar o sinal do ponto crítico e, com isso, determinar se este é máximo ou mínimo. assim:
A derivada segunda ajuda a gente a classificar os pontos críticos de acordo com a concavidade da função na região. Veja:
Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver tudo isso acontecendo.
Bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiramente, vamos obter as derivadas primeira e segunda:
Como essa é uma função polinomial, sua derivada será dada pela regra do expoente.
E a segunda derivada será:
Como já estamos com a faca e o queijo na mão, vamos achar os pontos críticos, fazendo:
Assim:
E teremos:
ou
Passo 3
Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:
Precisamos analisar o sinal da derivada primeiro, fazendo
Assim,
ou
E para:
E ficamos com:
Logo, é crescente no intervalo e decrescente no intervalo , então o ponto é máximo local pois cresce até ele e decresce a partir dele e o ponto é mínimo local pois decresce até ele e cresce depois dele.
Passo 4
E para o Teste da Derivada Segunda, teremos que:
Se o ponto crítico é e
Então é máximo local pois e .
Se o ponto crítico é e
Então é mínimo local pois e .
E prontinho. Temos nossa resposta. Agora diga você: qual método você prefere?
Resposta
é máximo local e é mínimo local.