Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 19

Encontre os valores máximo e mínimo locais de usando ambos os Testes das Primeira e Segunda Derivadas. Qual método você prefere?

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom, nessa questão teremos que encontrar os valores máximo e mínimo locais da seguinte função:

E o problema pede pra gente fazer isso de dois modos diferente, usando o Testes das Primeira derivada e o teste da Segunda Derivadas. Então vamos relembrar cada um deles.

No teste da Primeira primeira derivada lembraremos que a derivada de uma função é igual a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Assim, Se:

Então a ideia é achar os pontos críticos fazendo a derivada igual a zero, e depois analisar o sinal da derivada em pontos antes e depois do ponto crítico.

Se ela era positiva antes e negativa depos é porque a função subiu, encontrou seu valor MÁXIMO e depois desceu.

Se ela era negativa antes e positiva depos é porque a função desceu, encontrou seu valor MÍNIMO e depois subiu.

Sacou?!

Já o teste da derivada segunda serve para analisar o sinal do ponto crítico e, com isso, determinar se este é máximo ou mínimo. assim:

A derivada segunda ajuda a gente a classificar os pontos críticos de acordo com a concavidade da função na região. Veja:

Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver tudo isso acontecendo.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos obter as derivadas primeira e segunda:

Como essa é uma função polinomial, sua derivada será dada pela regra do expoente.

E a segunda derivada será:

Como já estamos com a faca e o queijo na mão, vamos achar os pontos críticos, fazendo:

Assim:

E teremos:

Passo 3

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Precisamos analisar o sinal da derivada primeiro, fazendo

Assim,

E para:

E ficamos com:

Logo, é crescente no intervalo e decrescente no intervalo , então o ponto é máximo local pois cresce até ele e decresce a partir dele e o ponto é mínimo local pois decresce até ele e cresce depois dele.