Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 41
Encontre os pontos nos quais é descontínua. Em quais desses pontos é contínua à direita, à esquerda ou nenhuma das laterais? Esboce o gráfico de .
Passo 1
Fala, gente bonita! Tudo certinho com você?
Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:
Temos que é contínua nos intervalos e , onde temos, respectivamente, duas funções polinomiais e uma racional.
Isso significa que só precisamos checar os pontos e . Pra isso, precisamos lembrar qual é a condição pra continuidade de uma função. A função vai ser contínua se os limites laterais forem iguais entre si e iguais ao valor da função. Ou seja:
Então vamos precisar calcular os dois limites laterais em cada caso. Vamos ver como fazer isso juntos!
Passo 2
Vamos começar analisando . Primeiro com o limite lateral pela esquerda:
Como estamos nos aproximando pela esquerda, isso significa que é menor do que , ou seja:
Aplicando o limite, temos:
Agora vamos calcular o limite pela direita no mesmo ponto.
Seguindo o mesmo raciocínio do limite anterior, como estamos nos aproximando pela direita, temos que é maior que . Então podemos dizer que:
Vamos agora aplicar o limite:
Agora olha só. Descobrimos que os limites laterais em são diferentes entre si. Logo, sabemos que é descontínua no ponto .
Pra terminar, vamos calcular o valor da função no ponto :
Olha só esse detalhe. Como temos que , é contínua pela direita em .
Passo 3
Agora, vamos checar o ponto . Primeiro analisando pela esquerda. Lembre-se que pela esquerda, é menor do que .
Legal. Agora pela direita. Lembrando que, nesse caso, é maior que .
Aplicando o limite, temos:
Olha só. Os limites laterais são iguais. Pra batermos o martelo em dizer que a função é contínua só precisamos checar o valor da função:
Como temos os dois limites laterais iguais ao valor da função, então é contínua no ponto .
Passo 4
Pra fechar, vamos fazer um esboço do gráfico. Lembre-se de como ela se comporta em cada intervalo:
O gráfico vai ficar assim:
