37. Encontre γ, de modo que a solução do problema de valor inicial

permaneça limitada quando x → 0

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

A sagacidade está em perceber que nossa função está sendo multiplicada por , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

Logo ou nossa função e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

Fazendo produtos notáveis podemos dizer que essa equação é

Nossa solução tem o seguinte formato

Vamos usar os dados que descobrimos ate agora

SHOW! Conseguimos encontrar a solução geral. Agora temos dados de contorno. Podemos descobrir as constantes do nosso sistema

Vamos usar o primeiro dado

Agora vamos precisar usar o segundo dado

Vamos manipular nosso sistema para que a solução da nossa equação fique em função de

Vamos substituir isso na função com

Vamos usar isso agora para descobrir

Então nossa solução geral é

O enunciado diz que quer que a solução permaneça limitada quando , ou seja, esse limite não pode explodir para infinito, assim temos que :

A parte vai explodir para infinito se , logo esse termo tem que morrer. E isso só vai acontecer se a constante que o multiplica for nula :

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )