15 - Mostre que a fórmula de Adams-Bashforth de terceira ordem é

y_{n+1} = y_n + (h / 12) [ 5 * f_{n+1} + 8 * f_n - f_{n-1} ]

Passo 1

Para a fórmula de Adams-Bashforth de terceira ordem, aproximamos f   ( t ,   y ) , no intervalo [ t n , t n + 1 ] , por um polinômio quadrático usando os pontos t n - 1 , y n - 1 , t n , y n   e   ( t n + 1 , y n + 1 ) .

Agora deixamos   P 3 ( t ) =   A t 2   +   B t   +   C . A partir disso obtemos o sistema de equações:

A t n - 1 2 + B t n - 1 + C = f n - 1

A t n 2 + B t n + C = f n

A t n + 1 2 + B t n + 1 + C = f n + 1

Portanto, para fins computacionais, vamos assumir que t 0 = 0 e t n = n h . Então, a partir disso, segue-se que,

A = f n _ 1 - 2 f n + f n + 1 2 h 2

B = - 2 n + 1 f n - 1 + 4 n f n + 1 - 2 n f n + 1 2 h

C = n 2 + n 2 f n - 1 + 1 - n 2 f n + n 2 - n 2 f n + 1

Então nós temos,

y n + 1 - y n = ∫ t n t n + 1 A t 2 + B t + C d t =

A h 3 n 2 + n + 1 3 + B h 2 n + 1 2 + C h

Substituindo os valores no resultado da integral, temos:

y n + 1 - y n = h 12 5 f n + 1 + 8 f n - f n - 1

Resposta

y n + 1 - y n = h 12 5 f n + 1 + 8 f n - f n - 1

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