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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 13

13 - Mostre que o método de Adams-Bashforth de primeira ordem é o método de Euler e que o método de Adam-Moulton de primeira ordem é o método de Euler inverso.

Passo 1

Sabemos que os dois métodos de Adams implicam a aproximação de f   ( t ,   y ) , no intervalo [ t n , t n + 1 ] , por um polinômio.

Então agora, aproximando  ∅ ' t = P 1 ( t ) ≡ A , que reconhecemos como um polinômio constante, obtemos:

∅ t n + 1 - ∅ t n = ∫ t n t n + 1 A t n + 1 - t n = A h

Então agora, definindo  A = λ f n + 1 - λ f n - 1 onde  0 ≤ λ ≤ 1 .

Assim, temos a aproximação de,

y n + 1 = y n + h [ λ f n + 1 - λ f n - 1 ]

Vemos que uma escolha apropriada de λ nos dá a fórmula familiar de Euler. Da mesma forma, definindo:

A = λ f n + 1 - λ f n + 1 , onde   0 ≤ λ ≤ 1  obtemos a seguinte aproximação:

y n + 1 = y n + h [ λ f n + 1 - λ f n + 1 ]

Resposta

Sabemos que os dois métodos de Adams implicam a aproximação de f   ( t ,   y ) , no intervalo [ t n , t n + 1 ] , por um polinômio.

Então agora, aproximando  ∅ ' t = P 1 ( t ) ≡ A , que reconhecemos como um polinômio constante, obtemos:

∅ t n + 1 - ∅ t n = ∫ t n t n + 1 A t n + 1 - t n = A h

Então agora, definindo  A = λ f n + 1 - λ f n - 1 onde  0 ≤ λ ≤ 1 .

Assim, temos a aproximação de,

y n + 1 = y n + h [ λ f n + 1 - λ f n - 1 ]

Vemos que uma escolha apropriada de λ nos dá a fórmula familiar de Euler. Da mesma forma, definindo:

A = λ f n + 1 - λ f n + 1 , onde   0 ≤ λ ≤ 1  obtemos a seguinte aproximação:

y n + 1 = y n + h [ λ f n + 1 - λ f n + 1 ]

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