Encontre o nível de produção no qual a função custo marginal começa a crescer.

C(x) = 0,0002 * x^3 - 0,25 * x^2 + 4 * x + 1500

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema foi dada a função custo

C x = 0,0002 x 3 - 0,25 x 2 + 4 x + 1500

E nosso objetivo é encontrar o nível de produção x onde o custo marginal começa a crescer.

Tem ideia de como fazemos isso?

Primeiro temos que encontrar o custo marginal... o custo marginal pode ser interpretado como a taxa de variação do custo em relação ao nível de produção x .

Isso te lembra algo? Derivada, não é?

Então a função custo marginal nada mais é do que a derivada de C x .

Para encontrar o nível x onde o custo marginal começa a crescer, temos que lembrar como fazíamos para encontrar os intervalos de inclinação positiva de uma função.

f ' x > 0

Então derivamos a função custo marginal e verificamos em que ponto ela começa a ser positiva.

Bora lá!

Passo 2

A função custo marginal é a derivada do custo total C ( x ) .

Derivando a função C x pela regra da potência, temos então:

C ' x = 0,0002 3 x 3 - 1 - 0,25 2 x 2 - 1 + 4 x 1 - 1 + 1500 0

C ' x = 0,0006 x 2 - 0,5 x + 4

Para analizar o crescimento ou decrescimento do custo marginal C ' ( x ) , devemos olhar para a derivada dele (que é a segunda derivada de C ( x ) ).

Show?

Passo 3

Derivando o custo marginal pelo mesmo método, temos:

C ' ' x = 0,0006 2 x 2 - 1 - 0,5 x 1 - 1 + 4 0

C ' ' x = 0,0012 x - 0,5

Esse valor é negativo para x = 0 , então a função C ' ( x ) começa decrescente.

Ela passa a crescer quando C ' ' ( x ) se torna positiva, ou seja, quando C ' ' x > 0

0,0012 x - 0,5 > 0

0,0012 x > 0,5

x > 0,5 0,0012 ≈ 4167

Então temos C ' ' x > 0 para x > 4167 , e esse é o valor de x a partir do qual o custo marginal C ' ( x ) cresce.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A partir de 4167 unidades produzidas.

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