Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.9 - Ex. 39
Um silo de grãos consiste em um cilindro com 30 pés de altura e telhado hemisférico. A fim de obter um volume total de 15.000 pés³ (inclusive a parte hemisférica), qual deveria ser o raio do silo?
Passo 1
O volume total do silo pode ser calculado através de seu raio , somando os volumes do hemisfério e do cilindro:
Mas sabemos do enunciado que e que :
Temos então uma equação, que devemos resolver para determinar . Vamos usar pra isso o método de Newton.
Passo 2
Temos que achar a raiz da função:
Usando o método de Newton, as aproximações são dadas pela fórmula:
Temos:
Então a fórmula fica:
Agora basta escolher uma aproximação inicial adequada, e então aplicar a fórmula. Vamos tentar encontrar com uma precisão de 3 casas decimais, então aplicamos o método até os resultados não diferirem até a 3 casa.
Passo 3
Vamos tentar descobrir onde está a raiz da função, aproximadamente, para aplicar a aproximação inicial. Calculamos para alguns valores de positivos.
Vemos que existe uma raiz entre 10 e 15. Como ela está mais próxima de 10, vamos começar com . Aplicando então o método:
Como e coincidem até a 5 casa decimal, encontramos a raiz da equação, . Esse é o valor que deve ter o raio do silo: