Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 1
Encontre um número no intervalo tal que a soma do número com seu recíproco seja
(a)a menor possível
(b)a maior possível
Passo 1
Primeiro, temos que saber que um número e seu recíproco nada mais são que um valor e . Ou seja, seu inverso.
Aqui, temos um problema de otimização, onde queremos descobrir o valor de que, quando somado a vai resultar, dentro do intervalo informado, no maior e no menor valor possível.
Passo 2
Pra isso, tomamos como nossa função o seguinte:
Como é um problema de otimização, vamos derivar essa função e igualar a derivada a zero. Nisso, vamos achar o(s) valor(es) de que corresponde(m) ao(s) ponto(s) crítico(s).
Ou seja, onde a função assume o valor máximo, ou o valor mínimo. Derivando, temos:
Igualamos isso a zero:
ou
Como estamos no intervalo , só nos interessa .
Passo 3
Já conhecemos nosso ponto crítico, em . Ainda falta saber se ele é ponto de mínimo ou de máximo. Descobrimos isso aplicando os extremos do intervalo, e em , assim como também aplicamos , e comparamos os resultados.
Como nos dá o menor resultado, temos que o ponto crítico é ponto de mínimo. Assim, respondemos a subquestão (a), sendo , no intervalo avaliado, o número que somado a seu recíproco dá o menor resultado.
Agora, como , que é a função calculada em um dos extremos do intervalo, nos deu o maior resultado, temos que é, dentro do intervalo, o número que somado a seu recíproco dá o maior resultado.
Resposta
(a)
(b)