Uma caixa de base quadrada é mais alta do que larga. Para poder mandá-la pelo correio dos EUA, sua altura e o perímetro da base devem somar não mais que 108 polegadas. Qual é o volume máximo dessa caixa?

Escrevemos a fórmula pro volume de uma caixa. Consideremos como o lado da base quadrada e a altura da caixa. Temos então:

Temos como norma que a soma entre o perímetro da base (soma dos lados, equivalendo a ) e a altura da caixa não pode ultrapassar 108 polegadas. Escrevemos isso da seguinte forma:

Vamos isolar e escrevê-la em função de , assim:

E isso pra quê?

Fazemos isso pra pegarmos essa expressão e substituí-la na expressão pro volume . Reescrevemos a expressão, agora apenas em função de , da seguinte maneira:

Assim, conseguimos uma função de que podemos analisar os pontos de máximo e mínimo, que são os pontos de derivada nula.

Então, vamos derivar a função, igualá-la a zero e determinar os valores de que correspondem aos pontos críticos. Teremos:

Igualamos a zero e teremos:

ou

Logo:

Temos dois pontos críticos, e precisaríamos determinar qual representa o ponto de máximo, pelo teste da derivada segunda.

Mas podemos pular esse trabalho e afirmar que nosso ponto de máximo é , e só poderia ser porque não faz sentido valer zero, já que representa uma dimensão, precisa ter valor positivo e não nulo!

Assim, já tendo , determinamos pela expressão que já temos: