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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 39

Encontre os números críticos da função.

g t = 5 t 2 3 + t 5 3

Passo 1

E aí meus bonitos, bora matar mais essa?

Nessa questão temos a seguinte função:

g t = 5 t 2 3 + t 5 3

E queremos encontrar os números críticos da função.

Vamos começar entendendo o que vem a ser esse tal de “número crítico”.

Um número crítico é nada mais, nada menos que um número c onde sua derivada é igual a zero

g ' ( c ) = 0

ou g ' c não existe

g ' c   ∄

Certinho??

Passo 2

Essa é bem simples! Vamos apenas derivar a função:

g t = 5 t 2 3 + t 5 3

g ' ( t ) = 2 3 × 5 t - 1 3 + 5 3 × t 2 3

g ' ( t ) = 10 3 t - 1 3 + 5 3 t 2 3

Reescrevendo agora de uma forma mais amigável, temos:

g ' t = 10 3 t 1 / 3 + 5 t 2 / 3 3

Percebemos que g ' ( 0 ) não existe, pois assim teríamos uma divisão por zero, então t = 0 é um número crítico!!

Passo 3

Vamos procurar agora se essa derivada zera.

g ' ( t ) = 10 3 t - 1 3 + 5 3 t 2 3

Reorganizando, podemos ter

g ' ( t ) = 5 3 ( 2 t - 1 3 + t 2 3 )

g ' ( t ) = 5 3 2 t 1 3 + t 2 3

Transformando os expoentes em raízes, temos:

g ' t = 5 3 2 t 3 + t 2 3

Calculando o MMC:

g ' ( t ) = 5 3 2 + t 3 3 t 3

g ' ( t ) = 5 3 2 + t t 3

Então, igualando a zero:

5 3 2 + t t 3 = 0

Essa igualdade é verdadeira se:

2 + t = 0

Assim temos t = - 2 , que também é um número crítico!! Belezinha??

Resposta

t = - 2       e   t = 0

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