Calcule a integral fazendo a substituição dada.

∫ 4 1 + 2 x 3 d x ,             u = 1 + 2 x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ 4 1 + 2 x 3 d x

E pra isso temos que usar o método de substituição para u = 1 + 2 x .

Tem ideia de como fazer isso?

Esse método consiste em fazer uma mudança de variáveis do tipo:

∫ f x d x → ∫ g u d u

A ideia é substituir parte de f x para chamar de u e derivar u em relação a x para obter d u e montar nossa integral.

Encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Veja só!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = 4 1 + 2 x 3

E como temos u = 1 + 2 x , derivando em relação a x .

d u d x = 2

Isolando d x em um lado da igualdade.

d x = 1 2 d u

Assim, substituindo u e d x na integral.

∫ 4 1 + 2 x 3 d x → ∫ 4 u 3 1 2 d u

∫ 2 u - 3 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora calculamos a integral pela regra da potência.

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Veja só!

∫ 2 u - 3 d u = 2 u - 3 + 1 - 3 + 1 + C = 2 u - 2 - 2 + C

∫ 2 u - 3 d u = - u - 2 + C

Por fim, temos que voltar u para x , então fazemos o processo inversa da substituição.

∫ 4 1 + 2 x 3 d x = - 1 + 2 x - 2 + C

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ 4 1 + 2 x 3 d x = - 1 + 2 x - 2 + C

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