Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

23. Porção do paraboloide - A porção do paraboloide y = 2 * (x^2 + z^2), y ≤ 2 , que está acima do plano x y .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para parametrizar a porção do paraboloide usaremos coordenadas cilíndricas na seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ

y = y

z = r sen ⁡ θ

Tendo em mente que x 2 + z 2 = r 2 . A equação do paraboloide é igual a y = 2 x 2 + z 2 , o que significa

y = 2 r 2

Como observamos a porção de paraboloide para y ≤ 2 :

2 r 2 ≤ 2 → r 2 ≤ 1

E com isso

0 ≤ r ≤ 1

Passo 2

Como também observamos a porção do paraboloide acima do plano x y , ou seja, para z ≥ 0 :

r sen ⁡ θ ≥ 0 → sen ⁡ θ ≥ 0

E com isso, nós temos que

0 ≤ θ ≤ π

Finalmente

r θ , r = r cos ⁡ θ i + 2 r 2 j + r sen ⁡ θ k

Onde

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ π

Resposta

r θ , r = r cos ⁡ θ i + 2 r 2 j + r sen ⁡ θ k

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