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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 26

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

26 – Integral de superfície – Integre f x , y , z = x y - z 2 sobre a superfície no Exercício 25.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Considerando que r u , v = f u , v i + g u , v j + h u , v k seja uma superfície parametrizada e seja G ( x , y , z ) uma função contínua sobre S . Então a integral de superfície de G ( x , y , z ) sobre a superfície S é dada por:

∬ G x , y , z d σ = ∬ G f u , v , g u , v ,   h u , v r u × r v   d u   d v

A seguinte superfície parametrizada no espaço é dada:

r u , v = u + v i + u - v j + v k ,     0 ≤ u ≤ 1 ,     0 ≤ v ≤ 1

A função que nós temos é

f x , y , z = x y - z 2

Passo 2

Para encontrar a área, primeiro vamos encontrar r u e r v

r u = i + j

r v = i - j + k

Agora, fazendo o produto vetorial dos termos

r u × r v = i j k 1 1 0 1 - 1 1 = i 1 - 0 - j 1 - 0 + k - 1 - 1 = i + j - 2 k

E a norma

r u × r v = 1 2 + 1 2 + - 2 2 = 6

Tendo em mente que

f u + v , u - v ,   v = u + v u - v - v 2 = u 2 - v 2 - v 2 = u 2 - 2 v 2

Agora, nós temos que

A = ∬ f x , y , z d σ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 u 2 - 2 v 2 6   d v   d u

Que basicamente será igual a

A = ∬ f x , y , z d σ = ∫ 0 1 u 2 - 2 3   d u

Logo,

A = 6 u 3 3 - 2 3 u 0 1 = 6 1 3 - 2 3 = - 6 3

Resposta

A = - 6 3

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