Enunciado

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

Faixa esférica - A porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 36 entre os planos z = - 3 e z = 3 3 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para parametrizar a esfera usaremos coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

A equação da esfera é dada por

x 2 + y 2 + z 2 = 36

Com isso, nós já sabemos que o raio da esfera é igual a ρ = 6

x = 6 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = 6 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ

z = 6 cos ⁡ ϕ

Com intervalo entre

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora, nós vamos determinar os limites para ϕ . É fornecido o intervalo - 3 ≤ z ≤ 3 3 , por causa dos planos, com isso,

- 3 ≤ ρ cos ⁡ ϕ ≤ 3 3

- 3 ≤ 6 cos ⁡ ϕ ≤ 3 3

Simplificando um pouco mais

- 1 2 ≤ cos ⁡ ϕ ≤ 3 2

Portanto,

π 6 ≤ ϕ ≤ 2 π 3

Finalmente, nós temos que

r θ ,   ϕ = 6 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 6 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ j + 6 cos ⁡ ϕ k

Onde

0 ≤ θ ≤ 2 π ,     π 6 ≤ ϕ ≤ 2 π 3

Resposta

r θ ,   ϕ = 6 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 6 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ j + 6 cos ⁡ ϕ k

0 ≤ θ ≤ 2 π ,     π 6 ≤ ϕ ≤ 2 π 3

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