Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 53
53. Encontre um polinômio de segundo grau tal que , e .
Passo 1
Falaii galerinha, bora resolver essa comigoooo
O enunciado pede que encontremos um polinômio de segundo grau que satisfaça as seguintes condições:
- Isso significa que o valor do polinômio em é igual a
- Aqui, denota a primeira derivada de então essa condição afirma que a inclinação (ou taxa de mudança instantânea) do polinômio em é igual a
- Similarmente, representa a segunda derivada de , e essa condição indica que a concavidade (ou taxa de mudança da inclinação) do polinômio em é igual a 2.
Uma estratégia para resolver esse problema seria definir um polinômio de segundo grau geral:
Onde são coeficientes desconhecidos.
Em seguida, podemos usar as condições dadas para formar um sistema de equações e resolver para os coeficientes desconhecidos. As condições:
Nos fornecem informações suficientes para determinar esses coeficientes.
Por exemplo, substituir em nos dá três equações que podemos usar para resolver o sistema e encontrar os valores de
Portanto, a estratégia geral é encontrar um polinômio de segundo grau que satisfaça as condições dadas, usando as informações fornecidas sobre os valores e as derivadas do polinômio em
Passo 2
Como temos as informações e , vamos derivar o polinômio 2 vezes:
E agora vamos substituir as informações dadas no enunciado.
Passo 3
O enunciado nos diz quanto vale , então vamos escrever a equação:
De , vamos substituir na derivada , que achamos no passo 2:
Ainda precisamos de mais uma equação para encontrar os índices. Ainda bem que temos a informação . Na segunda derivada:
Então :
E com esse valor encontramos os outros dois:
E:
Agora, como temos os valores das incógnitas podemos montar o polinômio: