59-61 A função g é uma função duas vezes diferenciável. Encontre f ’ ’ em termos de g , g ’ e g ’ ’ .61. f x = g x .

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão deu pra gente uma função definida como:

f x = g x

e pediu pra gente encontrar f ' ' em termos de g , g ' e g ' '

Sendo assim, a gente precisa derivar duas vezes a função f x

Mas repare que essa é uma função composta, pois temos uma função dentro da outra. Sendo assim usaremos a regra da cadeia, dada por:

g h x ' = g ' h x ⋅ h ' x

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora aplicada na função de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro.

Um pouco confuso isso, mas calma que vou te mostrar tudinho no passo a passo!

Vem comigo.

Passo 2

Vamos começar com essa deriva

f ' x = g x '

Para derivar g x precisamos usar a regra da cadeia, pois tem uma função dentro da outra. Assim

f ' x = g ' x ⋅ d d x x

E derivando, teremos:

f ' x = g ' x ⋅ 1 2 x

Que pode ser escrita como

f ' x = g ' x 2 x

Maravilha. Agora vamos derivar novamente.

Passo 3

Agora é só derivar mais uma vez:

f ' ' x = d d x g ' x 2 x

Mas agora regare que temos uma divisão entre duas funções. Sendo assim, precisaremos usar a regra do quociente.

Vamos pensar na função como:

g ' x 2 x = u v

Sua derivada será dada por:

u v ' = u ' v - u v ' v 2

Fazendo

u = g ' x

Essa derivação é parecida com a que fizemos no passo 2. Então

u ' = g ' ' x 2 x

E sendo

v = 2 x

Temos

v ' = 2 ⋅ 1 2 x

Agora basta substituir na regra do quociente. E teremos:

f ' ' x = g ' ' x ⋅ 1 2 x   ⋅ 2 x - 2 ⋅ 1 2 x ⋅ g ' x 2 x 2

Podemos colocar no denominador aqueles 2 x que estão dividindo no numerador:

f ' ' x = g ' ' x ⋅ 2 x - 2 ⋅ g ' x 2 x 3

f ' ' x = g ' ' x ⋅ 2 x - 2 ⋅ g ' x 8 x x

Dividindo por 2 em cima e em baixo:

f ' ' x = x ⋅ g ' ' x - g ' x 4 x x

Prontinho. Resposta encontrada!

Resposta

f ' ' x = x ⋅ g ' ' x - g ' x 4 x x

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