Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 61
59-61 A função g é uma função duas vezes diferenciável. Encontre em termos de , e .61. .
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão deu pra gente uma função definida como:
e pediu pra gente encontrar em termos de , e
Sendo assim, a gente precisa derivar duas vezes a função
Mas repare que essa é uma função composta, pois temos uma função dentro da outra. Sendo assim usaremos a regra da cadeia, dada por:
Ou seja, fazemos a derivada da função de fora aplicada na função de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro.
Um pouco confuso isso, mas calma que vou te mostrar tudinho no passo a passo!
Vem comigo.
Passo 2
Vamos começar com essa deriva
Para derivar precisamos usar a regra da cadeia, pois tem uma função dentro da outra. Assim
E derivando, teremos:
Que pode ser escrita como
Maravilha. Agora vamos derivar novamente.
Passo 3
Agora é só derivar mais uma vez:
Mas agora regare que temos uma divisão entre duas funções. Sendo assim, precisaremos usar a regra do quociente.
Vamos pensar na função como:
Sua derivada será dada por:
Fazendo
Essa derivação é parecida com a que fizemos no passo 2. Então
E sendo
Temos
Agora basta substituir na regra do quociente. E teremos:
Podemos colocar no denominador aqueles que estão dividindo no numerador:
Dividindo por 2 em cima e em baixo:
Prontinho. Resposta encontrada!