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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 3

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

g x = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

g x = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x + 1

Derivando:

g ' x = 6 x 2 + 6 x - 12

Agora vamos para a segunda derivada:

g ' ' x = 12 x + 6

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

g ' ' x = 12 x + 6

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

g ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

g ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

Vamos analisar quando essa derivada é positiva:

12 x + 6 > 0 → 12 x > - 6 → x > - 1 2

E ela vai ser negativa:

12 x + 6 < 0 → 12 x < - 6 → x < - 1 2

Então vamos ter:

g ' ' x > 0 ⟷ x > - 1 2

g ' ' x < 0 ⟷ x < - 1 2

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > - 1 2

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < - 1 2

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = - 1 2 , logo ele é ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

g ' - 1 2 = 6 - 1 2 2 + 6 - 1 2 - 12 = 6 4 - 6 2 - 12 = - 27 2

Assim ela vai ter uma inclinação 9 , vamos ver o gráfico.

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > - 1 2

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < - 1 2

x = - 1 2 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

g ' - 1 2 = - 27 2

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