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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 43

Encontre os pontos sobre a lemniscata do exercício 31 onde a tangente é horizontal.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos sobre a lemniscata do exercício 31 onde a tangente é horizontal. Nesse exercício, a lemniscata tem a equação:

2 ( x 2 + y 2 ) 2 = 25 ( x 2 - y 2 )

Para encontrar os pontos onde a tangente é horizontal, precisamos encontrar os valores de x para os quais a derivada é zero, ou seja, y ' = 0 .

Dessa forma, vamos utilizar a derivação implícita para encontrar y ' e depois igualar a 0 .

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Bora relembrar o que é a derivação implícita??

Bom... seja uma equação implícita geral de duas variáveis, F ( x , y ) = 0 , onde y é uma função de x .

Para encontrarmos a derivada dessa expressão, precisamos derivar os dois lados da equação e, em seguida, devemos aplicar a regra da cadeia:

d d x F x , y = d d x 0 ∴

d F d x + d F d y d y d x = 0

Com isso é só a gente isolar o d y d x que descobriremos a derivada da nossa função!! Entendeu?

Agora bora lá aplicar na questão!! 😉

Passo 3

Vamos começar aplicando a derivada em ambos os lados da equação:

d d x 2 x 2 + y 2 2 = d d x [ 25 x 2 - y 2 ]

Assim, utilizando a derivação implícita, temos:

4 ( x 2 + y 2 ) ( 2 x + 2 y y ' ) = 25 ( 2 x - 2 y y ' )

Aplicando a propriedade distributiva nos produtos:

8 x 2 y y ' + 8 y 3 y ' + 50 y y ' = 50 x - 8 x 3 - 8 y 2 x

Colocando y ’ em evidência:

y ' ( 8 x 2 y + 8 y 3 + 50 y ) = 50 x - 8 x 3 - 8 y 2 x

E isolando y ' , temos:

y ' = 50 x - 8 x 3 - 8 y 2 x 8 x 2 y + 8 y 3 + 50 y

Passo 4

Agora vamos igualar y ' a 0 para encontrar os pontos onde a tangente é horizontal. Assim, temos:

0 = 50 x - 8 x 3 - 8 y 2 x 8 x 2 y + 8 y 3 + 50 y

Como o denominador não pode ser zero, ficamos com:

0 = 50 - 8 x 2 - 8 y 2

Chegamos, então, na equação:

x 2 + y 2 = 25 4

Iremos agora substituir o valor de x 2 + y 2 na equação da lemniscata. Fazendo isso, temos:

2 25 4 2 = 25 ( x 2 - y 2 )

x 2 - y 2 = 25 8

Agora, possuímos duas equações com x e y , ficando com o seguinte sistema:

x 2 + y 2 = 25 4 x 2 - y 2 = 25 8

Resolvendo o sistema, encontramos

x = ± 75 16 = ± 5 3 4  

E

  y = ± 25 16 = ± 5 4

Portanto, os pontos aonde a lemniscata possui tangente horizontal são 5 3 4 , 5 4 , 5 3 4 , - 5 4 , - 5 3 4 , 5 4 e - 5 3 4 , - 5 4 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Os pontos aonde a lemniscata possui tangente horizontal são ( 5 3 4 , 5 4 ) , ( 5 3 4 , - 5 4 ) , ( - 5 3 4 , 5 4 ) e ( - 5 3 4 , - 5 4 ) .

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - y 2 + x = 2 , ( 1,2 ) (hipérbole)
Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,   y 0 ) é x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1
Mostre que a soma das coordenadas das intersecções com os eixos x e y de qualquer reta tangente à curva x + y = c é igual a c .
Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,y 0 ) .
Mostre, usando a derivação implícita, que qualquer reta tangente, em um ponto P , a um círculo com centro O é perpendicular ao raio O P .