Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 57
Seja a reta tangente ao gráfico da equação cúbica em . Encontre a coordenada do ponto onde intersecta o gráfico uma segunda vez.
Passo 1
O primeiro passo é achar quem é essa reta . Ela sendo uma reta tangente à no ponto , podemos usar a seguinte equação de reta:
Onde é a derivada da equação cúbica no ponto e e são as coordenadas do ponto onde a reta é tangente. Logo:
No ponto :
E nossa equação da reta fica:
Só tem mais um detalhe, é o valor da função cúbica quando , então:
E substituindo esse cara na equação da reta:
Podemos arrumar esse cara aí ó:
E essa é a equação da nossa reta tangente à curva cúbica no ponto .
Passo 2
Para encontrar o segundo ponto onde a reta intersecta o gráfico, devemos igualar as duas equações:
E
Igualando:
Arrumando:
Cara, o valor que a gente encontrar resolvendo essa equação, é justamente o ponto onde a reta e a curva cúbica se encontram de novo. De cara, vemos que não zero essa equação, ou seja, não é uma raiz. Chutando alguns valores como: , , e , , vemos que no momento em que testamos o , verificamos que essa é uma das raízes da equação que achamos. Por que testamos esses valores? Bom, se temos uma equação com termo dependentes do () e um que não é dependente (), é de se esperar que a raiz seja algum número com , para que ele apareça em todos os termos e seja possível que os termos se cancelem. Caso contrário, ou ficaríamos dependentes do valor de ou sobraria o termo sem . Logo, quando substituímos por :
De fato, ele é a única raiz real dessa equação, as outras duas são complexas. Não acredita em mim? Olha para esse gráfico que representa o estilo dessa equação:
Nele, podemos ver que a equação só cruza o eixo uma única vez. O que torna verdade o fato de que duas raízes são complexas e a outra é real.
Enfim, a reta e a curva cúbica só irão se encontrar novamente quando . 😊