Enunciado

Seja L a reta tangente ao gráfico da equação cúbica y = a x 3 + b x em x = x 0 . Encontre a coordenada x do ponto onde L intersecta o gráfico uma segunda vez.

Passo 1

O primeiro passo é achar quem é essa reta L . Ela sendo uma reta tangente à y = a x 3 + b x no ponto x = x 0 , podemos usar a seguinte equação de reta:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde m é a derivada da equação cúbica no ponto x = x 0 e x 0 e y 0 são as coordenadas do ponto onde a reta é tangente. Logo:

y = a x 3 + b x

y ' = 3 a x 2 + b

No ponto x 0 :

y ' = m = 3 a x 0 2 + b

E nossa equação da reta fica:

y = 3 a x 0 2 + b x - x 0 + y 0

Só tem mais um detalhe, y 0 é o valor da função cúbica quando x = x 0 , então:

y 0 = a x 0 3 + b x 0

E substituindo esse cara na equação da reta:

y = 3 a x 0 2 + b x - x 0 + a x 0 3 + b x 0

Podemos arrumar esse cara aí ó:

y = 3 a x 0 2 + b x - x 0 + a x 0 3 + b x 0

y = 3 a x 0 2 + b x + 3 a x 0 2 + b - x 0 + a x 0 3 + b x 0

y = 3 a x 0 2 + b x - 3 a x 0 3 - b x 0 + a x 0 3 + b x 0

y = 3 a x 0 2 + b x - 2 a x 0 3

E essa é a equação da nossa reta tangente à curva cúbica no ponto x = x 0 .

Passo 2

Para encontrar o segundo ponto onde a reta intersecta o gráfico, devemos igualar as duas equações:

y = a x 3 + b x

E

y = 3 a x 0 2 + b x - 2 a x 0 3

Igualando:

a x 3 + b x = 3 a x 0 2 + b x - 2 a x 0 3

Arrumando:

a x 3 + 2 a x 0 3 - 3 a x 0 2 x - b x + b x = 0

a x 3 - 3 a x 0 2 x + 2 a x 0 3 = 0

Cara, o valor que a gente encontrar resolvendo essa equação, é justamente o ponto onde a reta e a curva cúbica se encontram de novo. De cara, vemos que x = 0 não zero essa equação, ou seja, não é uma raiz. Chutando alguns valores como: x 0 , 2 x 0 , 3 x 0 e - x 0 , - 2 x 0 , vemos que no momento em que testamos o x = - 2 x 0 , verificamos que essa é uma das raízes da equação que achamos. Por que testamos esses valores? Bom, se temos uma equação com termo dependentes do x 0 ( - 3 a x 0 2 x + 2 a x 0 3 ) e um que não é dependente ( a x 3 ), é de se esperar que a raiz seja algum número com x 0 , para que ele apareça em todos os termos e seja possível que os termos se cancelem. Caso contrário, ou ficaríamos dependentes do valor de x 0 ou sobraria o termo sem x 0 . Logo, quando substituímos x por - 2 x 0 :

- 8 a x 0 3 + 6 a x 0 3 + 2 a x 0 3 = 0

0 = 0

De fato, ele é a única raiz real dessa equação, as outras duas são complexas. Não acredita em mim? Olha para esse gráfico que representa o estilo dessa equação:

Nele, podemos ver que a equação só cruza o eixo x uma única vez. O que torna verdade o fato de que duas raízes são complexas e a outra é real.

Enfim, a reta e a curva cúbica só irão se encontrar novamente quando x = - 2 x 0 . 😊

Resposta

x = - 2 x 0

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