Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.9 - Ex. 20
Encontre a primitiva mais geral da função. ( Verifique sua resposta derivando.)
Passo 1
Faala aeeee. Eu sou o Rafha do Responde aí e vim te ajudar nessa questão!
Aqui estamos interessados em encontrar a primitiva da função .
Isso é, encontrar qual função quando derivada resulta em .
Repara só, nossa função possui uma raíz de e um cossen. Teremos portanto que encontrar uma função que quando derivada resulte em um uma raíz e em um cosseno.
Para facilitar, vamos usar uma notação exponencial para a raíz.
Assim, ficará mais fácil verificar qual função que quando deriva resulta em , pois usaremos a regra da derivada para potências de .
Passo 2
Bom, vamos procurar então quais funções compõem a nossa ,lembrando que queremos que:
O quê que quando derivado resulta em uma raíz? Bom, vamos primeiro lembrar a regra de derivação para potências de :
Dessa forma, queremos que após ser derivado, tenhamos um , esse será o nosso , logo:
Dessa forma, temos:
Isso é, agora transformando as potências em raízes:
Sendo que o primeiro termo da nossa é igual a . Para chegar nesse resultado, devemos multiplicar por :
Pronto, encontramos o primeiro termo da nossa primitiva .
Também temos ali na nossa um cosseno. O quê que quando derivado resulta em cosseno? O seno.
Passo 3
Sendo a nossa dada por
Temos que uma família de funções que quando derivada resulta em é:
Onde é uma constante.
Ao derivar , temos
Então como
Então é a primitiva de .