Encontre a primitiva mais geral da função. ( Verifique sua resposta derivando.)

f(t) = sen(t + 2 * sinh(t))

Passo 1

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a primitiva da função f .

Isso é, encontrar qual função F t quando derivada resulta em f t .

Repara só, nossa função f t possui um seno e um seno hiperbólico. Teremos portanto que encontrar uma função F t que quando derivada resulte em um seno e um seno hiperbólico.

Além disso, não podemos esquecer de somar uma constante C depois.

Passo 2

Bom, vamos procurar então quais funções compõem a nossa F x ,lembrando que queremos que:

F t ' = f t = sin ⁡ t + 2 sinh ⁡ t

O quê que quando derivado resulta em um seno? O menos cosseno:

cos ⁡ t ' = - sin ⁡ t

Logo,

- cos ⁡ t ' = sin ⁡ t

Também temos ali um seno hiperbólico. O quê que quando derivado resulta em um seno hiperbólico? O cosseno hiperbólico.

cosh ⁡ t ' = sinh ⁡ t

Passo 3

Sendo a nossa f ( t ) dada por

f t = sin ⁡ t + 2 sinh ⁡ t

Temos que uma família de funções que quando derivada resulta em f x é:

F t = - cos ⁡ t + 2 cosh ⁡ t + C n

Onde C n é uma constante.

Ao derivar F ( t ) , temos

F ' t = sin ⁡ t + 2 sinh ⁡ t

Então como

F ' ( t ) = f ( t )

Então F ( t ) é a primitiva de f ( t ) .

Resposta

F t = - cos ⁡ t + 2 cosh ⁡ t + C n

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