Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)

g θ = cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ θ

Passo 1

E ai! Tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função:

g θ = cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ θ

E nosso objetivo é calcular sua função primitiva.

Parece complicado?

Uma função primitiva de g θ é a função que quando derivada resulta em g θ .

Então temos que descobrir qual função que quando derivada resulta na função g θ ...

Para a nossa sorte existe algumas regrinhas que podemos aplicar em g θ para obter sua primitiva.

Perceba que g θ é uma função trigonométrica... então podemos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo das derivadas do seno e do cosseno.

d cos ⁡ x d x = - sin ⁡ x

d sin ⁡ x d x = cos ⁡ x

Lembrando que quando fazemos o caminho inverso da derivada temos que acrescentar uma constante C .

Bora começar!

Passo 2

A função g é dada por

g θ = cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ θ

Aplicando o caminho inverso das derivadas trazidas no passo 1, podemos obter a função primitiva de g como:

G θ = sin ⁡ θ + 5 cos ⁡ θ + C

Show?

Passo 3

Derivando G para verificar o resultado, temos:

G ' θ = d sin ⁡ θ + 5 cos ⁡ θ + C d x = d sin ⁡ θ d x + 5 d cos ⁡ θ d x + d C d x

Pelo Teorema Fundamental, chegamos em:

G ' θ = cos ⁡ θ + 5 - sin ⁡ θ + 0

G ' θ = cos ⁡ θ - 5 sin ⁡ θ

Assim, como G ' = g , então provamos que G é a função primitiva de g !

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

G θ = sin ⁡ θ + 5 cos ⁡ θ + C

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