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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 16

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n x - 1 n  

Passo 1

E aí, galerinha! Como estão as coisas aí?

A questão quer saber o raio de convergência R e o intervalo onde estão os valores de x para quais a série abaixo converge:

∑ a n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n x - 1 n

A gente pode fazer isso utilizando o Teste da Razão. Uma dica pra você saber quando aplicar o Teste da Razão é que ele é bem útil em séries onde temos termos com potências (como x - 1 n aqui do nosso caso).

Vamos relembrar esse Teste? Basicamente temos que calcular o limite abaixo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L      

Esse limite vai dar um certo resultado, um número que vamos chamar de L . Daí podemos ter 3 casos:

L < 1 → a série ∑ a n é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).

L > 1 → a série ∑ a n é divergente (o mesmo para L = ∞ )

L = 1 → o teste é inconclusivo.

Depois de achar o intervalo de convergência a gente vai precisar entender se esse nosso intervalo é aberto ou fechado nas extremidades, ou seja, se a sequência converge quando x assume o valor das extremidades. E pra isso a gente precisa de alguns métodos. Aqui na nossa resolução, lá nos últimos passos, vamos precisar desses conceitos que vou retomar agora:

  • Teste da Comparação: nós achamos uma série b n que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série a n dada no enunciado.
  1. Se b n for convergente e a n ≤ b n para todo n , então ∑ a n também será convergente.
  2. Se b n for divergente e a n ≥ b n para todo n , então ∑ a n também será divergente.
  • Teste da Série Alternada:

    • ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 b n

    Se a série acima satisfaz as condições: (i) b n + 1 ≤ b n para todo n   (traduzindo: é decrescente) e (ii) lim n → ∞ ⁡ b n = 0 , a série converge.

    Então bora lá.

    Passo 2

    Através do enunciado, vemos que:

    a n = - 1 n 2 n - 1 2 n x - 1 n

    Daí tiramos:

    a n + 1 = - 1 n + 1 2 ( n + 1 ) - 1 2 n + 1 x - 1 n + 1

    Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

    lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 ( n + 1 ) - 1 2 n + 1 x - 1 n + 1 ⋅ 2 n - 1 2 n - 1 n x - 1 n

    Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada e cortando os termos iguais, obtemos

    lim n → ∞ ⁡ - 1 n - 1 2 n + 2 - 1 2 n 2 x - 1 n ( x - 1 ) 2 n - 1 2 n - 1 n x - 1 n

    lim n → ∞ ⁡ - 1 2 ( x - 1 ) 2 n - 1 2 n + 1

    Dividindo o numerador e o denominador por n para simplificar a análise do limite e colocando a constante - 1 / 2 para fora do limite, obtemos:

    lim n → ∞ ⁡ - 1 2 ( x - 1 ) 2 n - 1 n 2 n + 1 n = 1 2 lim n → ∞ ⁡ ( x - 1 ) 2 - 1 / n 2 + 1 / n = 1 2 | x - 1 |

    Devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que L < 1 . Para que essa condição seja satisfeita, temos que

    1 2 | x - 1 | < 1

    Logo, x - 1 < 2 .

    Portanto, o raio de convergência R = 2 .

    Passo 3

    Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

    A desigualdade x - 1 < 2 pode ser escrita como - 1 < x < 3 , assim testamos a série nas extremidades -1 e 3.

    Para x = - 1 , temos que

    ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n - 1 - 1 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n - 2 n

    ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 - 2 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2 n - 1

    ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n 2 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1

    Esta série converge pelo Teste da Comparação. Solução:

    Vamos comparar a série a n   acima com a série b n = ∑ 1 / 2 n . Sabemos que b n   diverge por ser uma série p com p ≤ 1 .

    Temos que

    1 2 n - 1 ≥ 1 2 n

    pois 2 n - 1 ≤ 2 n e o valor do numerador é a constante 1 para ambos os termos. Como b n é divergente e a n ≥ b n , a n também será divergente.

    Passo 4

    Para x = 3 , temos que

    ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n 3 - 1 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n 2 n

    ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1

    Esta série converge pelo Teste da Série Alternada. Solução:

    b n = 1 2 n - 1

    Primeira condição:

    i   b n + 1 ≤ b n

    Essa condição é satisfeita pois

    1 2 ( n + 1 ) - 1 ≤ 1 2 n - 1

    1 2 n + 1 ≤ 1 2 n - 1

    uma vez que 2 n + 1 ≥ 2 n - 1 e o numerador é igual a constante 1 para ambos os termos.

    Segunda condição:

    i i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

    lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1 = 0

    Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.

    Logo, o intervalo de convergência é

    ( - 1,3 ]

    Resposta

    R = 2

    ( - 1,3 ]

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