Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 20
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Fala, pessoal! Tranquilinho?
Nossa questão quer que a gente encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de , ou seja, em qual intervalo nos números reais todos os valores de se aplicados na nossa série abaixo vai nos retornar uma série convergente:
Um ótimo método para achar esses valores é o do Teste da Razão. Esse teste é muito útil quando temos termos exponenciais, como aqui no nosso caso: e já que depois de aplicarmos a divisão que o teste traz, a expressão da série fica bem mais simples.
O teste da Razão é calcular esse limite e analisar seu resultado, que aqui chamamos de . Se , a série converge, se ou , a série é divergente.
No último passo vamos precisar de dois testes que já vimos anteriormente. Vou revisar com vocês já agora nesse primeiro passo:
- Teste da Série Alternada:
Se a série acima satisfaz as condições: (i) para todo (traduzindo: é decrescente) e (ii) , a série converge.
- Para a série-p, temos:
É convergente se e é divergente se .
Vamo nessa!
Passo 2
Nesse exercício iremos analisar a seguinte série:
Como temos que:
Então, pelo teste da razão, temos:
Multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda e abrindo os termos com a propriedade da potenciação .
Cancelando termos iguais e tirando os termos que dependem de do módulo já que é sempre positivo:
Vamos dividir o numerador e o denominador por para simplificar a análise do limite:
Calculando o limite:
Passo 3
Sendo assim, pelo teste da razão, a série converge quando o resultado do limite é menor que 1:
Dessa forma, temos:
E o raio de convergência é:
Passo 4
O intervalo de convergência é:
Agora, testando os extremos para entender se esses valores estão inclusos no intervalo de convergência ou não, temos para :
Que é uma p-série com , logo, a série é divergente. Agora, da mesma forma, para , temos:
Que converge pelo teste da série alternada, sendo assim, o intervalo de convergência é: