Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 18
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
E aí, amigos! Tudo tranquilo?
Nossa questão quer que a gente encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de , ou seja, em qual intervalo nos números reais todos os valores de se aplicados na nossa série abaixo vai nos retornar uma série convergente:
Um ótimo método para achar esses valores é o do Teste da Razão. Esse teste é muito útil quando temos termos exponenciais, como aqui no nosso caso: e já que depois de aplicarmos a divisão que o teste traz, a expressão da série fica bem mais simples.
O teste da Razão é calcular esse limite e analisar seu resultado, que aqui chamamos de . Se , a série converge, se ou , a série é divergente.
No último passo nós vamos usar o Teste da Divergência. Relembrando rapidinho: Sabemos que a série diverge se ou não existir.
Vamo que vamo!
Passo 2
Nesse exercício iremos analisar a seguinte série:
Como temos que:
Multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda e abrindo os termos com a propriedade da potenciação .
Também já vamos aproveitar para cancelar termos iguais que se dividem e rearranjando os termos dentro da raiz quadrada:
Dividimos o termo dentro da raiz quadrada por para simplificar a análise do limite. Calculando o limite:
Passo 3
Sendo assim, pelo teste da razão, a série converge quando:
Dessa forma, temos:
E o raio de convergência é dado por:
Passo 4
Do passo anterior vimos que o Intervalo de convergência é:
Precisamos ver se esses extremos estão incluídos no intervalo ou não. Agora, testando os extremos da condição encontrada no passo 2, temos para , pelo teste da divergência:
A série diverge para pelo teste da divergência. Agora, da mesma forma, para :
A série também diverge. Logo, o intervalo de convergência será aberto nos extremos, já que não inclui esses valores: