Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 17
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Fala, galerinha! Tudo na paz?
Nossa questão quer que a gente encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de , ou seja, em qual intervalo nos números reais todos os valores de se aplicados na nossa série abaixo vai nos retornar uma série convergente:
Um ótimo método para achar esses valores é o do Teste da Razão. Esse teste é muito útil quando temos termos exponenciais, como aqui no nosso caso: e , já que depois de aplicarmos a divisão que o teste traz, a expressão da série fica bem mais simples.
O teste da Razão é calcular esse limite e analisar seu resultado, que aqui chamamos de . Se , a série converge, se ou , a série é divergente.
No último passo vamos precisar de dois testes que já vimos anteriormente. Vou revisar com vocês já agora nesse primeiro passo:
- Teste da Comparação: nós achamos uma série que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série dada no enunciado.
- Se for convergente e para todo , então também será convergente.
- Se for divergente e para todo , então também será divergente.
Se a série acima satisfaz as condições: (i) para todo (traduzindo: é decrescente) e (ii) , a série converge.
Vamo que vamo, pessoal!
Passo 2
Através do enunciado, vemos que
E:
Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que:
Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada e cortando os termos iguais, obtemos:
Colocando constante para fora do limite e aplicando a Regra de l’Hopital, obtemos
Devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que . Para que essa condição seja satisfeita, temos que
Logo, .
Portanto, o raio de convergência .
Passo 3
Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.
Temos a desigualdade:
Retirando do módulo:
Subtraindo 2 da inequação para isolarmos o :
assim testamos a série nas extremidades e .
Para , temos que:
Esta série converge pelo Teste da Série Alternada. Solução:
Primeira condição:
Essa condição é satisfeita pois
uma vez que e o numerador é igual a constante 1 para ambos os termos.
Segunda condição:
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.
Para , temos que
Esta série diverge pelo Teste da Comparação de Limite. Solução:
Vamos comparar a série acima com a série . Sabemos que diverge por ser uma série com .
Temos que
Aplicando a Regra de l’Hopital, chegamos em
Como , concluimos que ambas a série é divergente.
Logo, o intervalo de convergência é