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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 29

Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta

f x ,   y = 0,1 e - 0,5 x + 0,2 y ,     s e   x ≥ 0   ,   y ≥ 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

(a) Verifique que f é de fato uma função densidade conjunta.

(b) Determine as seguintes probabilidades.

(i) P Y ≥ 1 (ii) P X ≤ 2 , Y ≤ 4

(c) Determine os valores esperados de X e Y .

Passo 1

E aí, meus queridos! Tudo certo?

A questão traz a função de densidade de probabilidade:

f x ,   y = 0,1 e - 0,5 x + 0,2 y ,     s e   x ≥ 0   ,   y ≥ 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

A parte a) pede para que a gente verifique se a função dada é de fato uma função densidade conjunta. Para isso, vamos tentar provar que a propriedade desse tipo de função:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = 1

é respeitada.

A parte b) pede as probabilidades de P Y ≥ 1 e P X ≤ 2 , Y ≤ 4 Então, o que vamos precisar fazer é calcular a integral dupla da nossa função colocando os limites de integração adequado para cada intervalo de X e Y que estamos procurando.

Finalmente, a parte c) pede os valores esperados de X e Y , que são as médias desses valores:

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x   f x ,   y   d y   d x

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y   f x ,   y   d y   d x

Então, vamos analisar nosso caso e definir os novos limites de integração para cada uma das integrais. Depois, é só calcular a integral de dentro pra fora, do jeitinho que já sabemos.

Bora lá?

Passo 2

(a) Galera, pra f ser realmente uma função densidade conjunta, lembre-se que devemos ter:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = 1

No nosso caso, nossa função f é:

0,1 e - 0,5 x + 0,2 y

Só para valores de:

x ≥ 0   ,   y ≥ 0

Então, nossos limites vão começar do zero e ir até infinito. Veja que aqui já separamos cada integral com sua respectiva variável de integração:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d y   d x = ∫ 0 ∞ 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 0 ∞ e - 0,2 y d y

Calculando a integral, obtemos:

= 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 ∞   .   - e - 0,2 y 0,2 0 ∞

Agora podemos aplicar os limites de integração:

= 0,1 0 + 1 0,5 0 + 1 0,2

Então

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d y   d x = ∫ 0 ∞ 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 0 ∞ e - 0,2 y d y = 1

Então f é realmente uma função densidade conjunta.

Passo 3

(b) Agora vamos calcular as seguintes probabilidades:

  • P Y ≥ 1 : como só temos restrições para y , nossos valores de x vão do mínimo até o máximo onde nossa função está definida:

    • 0 ≤ X ≤ ∞

    Como Y ≥ 1 , nosso valor mínimo é 1 :

    1 ≤ Y ≤ ∞

    Pronto, agora temos os limites. Separando a integral para cada variável de integração:

    P Y ≥ 1 = ∫ 0 ∞ 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 1 ∞ e - 0,2 y d y

    Podemos resolver as duas simultaneamente:

    = 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 ∞   .   - e - 0,2 y 0,2 1 ∞

    E aplicar os limites:

    = 0,1 0 + 1 0,5 0 + e - 0,2 0,2

    Então, chegamos em:

    P Y ≥ 1 = e - 0,2

  • P X ≤ 2 , Y ≤ 4 : agora nossos intervalos serão:

0 ≤ X ≤ 2

E:

0 ≤ Y ≤ 4

Montando nossa integral:

P X ≤ 2 , Y ≤ 4 = ∫ 0 2 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 0 4 e - 0,2 y d y

Resolvendo a integral:

= 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 2   .   - e - 0,2 y 0,2 0 4

Aplicando os limites:

= 0,1 - e - 1 0,5 + 1 0,5 - e - 0,8 0,2 + 1 0,2 = 1 - e - 1 1 - e - 0,8

Multiplicando os termos:

P X ≤ 2 , Y ≤ 4 = 1 - e - 0,8 - e - 1 + e - 1,8

Passo 4

(c) Vamos agora calcular E X e E Y , os valores esperados para X e Y , respectivamente. Para isso, usamos nos limites de integração para cada variável todos os valores possíveis de X e Y para nossa função:

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x   f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 ∞ 0,1 x e - 0,5 x   d x ∫ 0 ∞ e - 0,2 y d y

Integrando:

= 0,1 - x e - 0,5 x 0,5 - e - 0,5 x 0,25 0 ∞   .   - e - 0,2 y 0,2 0 ∞

Aplicando os intervalos de integração:

E X = 0,1 0 + 1 0,25 0 + 1 0,2 = 2

Repetimos o mesmo processo para o valor esperado de Y :

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y   f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 ∞ 0,1 e - 0,5 x   d x ∫ 0 ∞ y e - 0,2 y d y

Integrando:

= 0,1 - e - 0,5 x 0,5 0 ∞   .   - y e - 0,2 y 0,2 - e - 0,2 y 0,4 0 ∞

Finalmente, aplicando os limites, temos:

E Y = 0,1 0 + 1 0,5 0 + 1 0,4 = 0,5

Resposta

(b) P Y ≥ 1 = e - 0,2 P X ≤ 2 , Y ≤ 4 = 1 - e - 0,8 - e - 1 + e - 1,8

(c) E X = 2

E Y = 0,5

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