Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 9
Ache a série de potência que representa a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, pessoal? Estamos estudando uma forma de escrever funções como séries de somas infinitas, isso é muito importante para algumas aplicações físicas e para solucionar algumas equações diferenciais.Mas, por agora, nosso objetivo é entender como realizar esse processo, e após isso encontrar o intervalo de convergência para essa série.
O processo de solução é o seguinte. Primeiro vamos nos recordar da série geométrica padrão que é:
Então tentaremos fazer manipulações algébricas na nossa série de modo a obter algo parecido com isso. Vamos lá!?
Por último iremos utilizar algum teste de convergência para definir o intervalo.
Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:
Passo 2
Iremos transformar a função dada em uma série geométrica. Para isso precisamos manipular nossa função para escreve-la de forma que fique dentro da definição de série geométrica.
Podemos reescrever a função como:
Mas perceba que eu preciso de uma subtração no denominador. Então temos que fazer:
Se chamarmos
Teremos:
Que é o mesmo que:
Ou seja:
Temos então:
Passo 3
Vamos recordar a definição de convergência para séries geométricas?
Por definição:
Em que: se a série é convergente.
Sendo assim, a série converge quando:
Dessa forma, temos:
E o raio de convergência é:
E, dessa forma, o intervalo de convergência é dado por: