Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 15
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
E aí explorador matemático! Pronto para mergulhar nessa série? Vamos lá!
Para solucionarmos esse problema, vamos começar encontrando o raio de convergência e depois determinaremos o intervalo de convergência. Tudo bem?
Para obtermos o raio de convergência, valor para o qual a série converge absolutamente, e o intervalo de convergência da série, usaremos o Teste da Razão. Este teste nos ajudará a determinar os valores de x para os quais a série converge. Ele nos diz que, se:
Então a série é convergente.
Passo 2
Vamos checar se o Teste da Razão se aplica para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:
Agora,
Portanto, a série será convergente se . Consequentemente, o raio de convergência é 1.
Passo 3
Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando e , isto é, testar os extremos do nosso intervalo! Quando , temos a seguinte série:
Uma série alternada! Como , então, pelo teste das séries alternadas, esta série não é convergente!
Já quando , temos:
E, como , então, a série não converge para ! Logo, o intervalo de convergência é:
Resposta
Raio de convergência é 1. O intervalo de convergência é .