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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 22

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 2 n x - 2 n 3 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 3 2 n + 2 x - 2 n + 1 3 ( n + 1 ) * 3 n - 1 n 3 2 n x - 2 n < 1

Ou:

x - 2 l i m n → ∞ 9 n n + 1 < 1

Desenvolvendo matematicamente:

9 | x - 2 |   < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

17 9 < x < 19 9

Logo, quando x = 17 / 9 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 2 n 3 n - 1 9 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n → s é r i e   d i v e r g e n t e

E quando x = 19 / 9 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 2 n 3 n 1 9 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n → s é r i e   c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 9 , e o intervalo de convergência da mesma é 17 9 < x ≤ 19 9
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. 17 9 < x < 19 9

  3. A série converge condicionalmente quando x = 19 / 9   .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 9 , e o intervalo de convergência da mesma é 17 9 < x ≤ 19 9
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. 17 9 < x < 19 9

  3. A série converge condicionalmente quando x = 19 / 9   .

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Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de converg��ncia da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ n ! x - 4 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n 2 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ n ( x + 3 ) n 5 n