Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.8 - Ex. 18
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
E aí explorador dos números! Pronto para mergulhar nessa série? Vamos lá!
Para solucionarmos esse problema, vamos começar encontrando o raio de convergência e depois determinaremos o intervalo de convergência. Tudo bem?
Para obtermos o raio de convergência, valor para o qual a série converge absolutamente, e o intervalo de convergência da série, usaremos o Teste da Razão. Este teste nos ajudará a determinar os valores de x para os quais a série converge. Ele nos diz que, se:
Então a série é convergente.
Passo 2
Vamos checar se o Teste da Razão se aplica para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:
Agora, vamos avaliar o limite quando tende ao infinito:
Para que a série seja convergente, necessitamos que 2
Passo 3
Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando e , isto é, testar os extremos do nosso intervalo!
Quando , temos a seguinte série:
Esta série diverge, pois é uma p-série com .
Já quando , temos:
Já esta série converge. A partir do teste da série alternada, checamos que a e que . Portanto, a série converge para !
Logo, o intervalo de convergência é:
Resposta
Raio de convergência é 1/2. O intervalo de convergência é .