Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ - 2 n n x + 3 n

Passo 1

E aí explorador dos números! Pronto para mergulhar nessa série? Vamos lá!

Para solucionarmos esse problema, vamos começar encontrando o raio de convergência e depois determinaremos o intervalo de convergência. Tudo bem?

Para obtermos o raio de convergência, valor para o qual a série converge absolutamente, e o intervalo de convergência da série, usaremos o Teste da Razão. Este teste nos ajudará a determinar os valores de x para os quais a série converge. Ele nos diz que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L < 1

Então a série ∑ a n é convergente.

Passo 2

Vamos checar se o Teste da Razão se aplica para a nossa função! Calculando o termo do limite inicialmente, temos:

a n + 1 a n = - 2 n + 1 ⋅ x + 3 n + 1 n + 1 ⋅ n - 2 n x + 3 n

= - 2 ⋅ ( x + 3 ) 1 + 1 n

Agora, vamos avaliar o limite quando n tende ao infinito:

lim n → ∞ ⁡ - 2 ⋅ ( x + 3 ) 1 + 1 n = 2 ⋅ | x + 3 | < 1

Para que a série seja convergente, necessitamos que 2 ⋅ | x + 3 | 5 2 < x < 7 2 . Então, o raio de convergência é R =   1 2 .

Passo 3

Ainda não acabamos a questão! Precisamos ver o que ocorre quando x =   5 2 e x =   7 2 , isto é, testar os extremos do nosso intervalo!

Quando x =   5 2 , temos a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ - 2 n n   5 2 + 3 n

∑ n = 1 ∞ - 2 n n   .     7 n 2 n

∑ n = 1 ∞ - 7 n n

Esta série diverge, pois é uma p-série com p = 1 / 2 .

Já quando x = 7 / 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 2 n n   7 2 + 3 n

∑ n = 1 ∞ - 2 n n   .     25 n 4

Já esta série converge. A partir do teste da série alternada, checamos que a b n + 1 ≤ b n e que lim n → ∞ ⁡ b n = 0 . Portanto, a série converge para x = 7 / 2 !

Logo, o intervalo de convergência é:

5 / 2 < x ≤ 7 / 2

Resposta

Raio de convergência é 1/2. O intervalo de convergência é 5 / 2 < x ≤ 7 / 2 .

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