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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 30

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 2 ∞ x n n ln ⁡ n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 ln ⁡ n + 1 * n ln ⁡ n x n < 1

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

x lim n → ∞ ⁡ n + 1 n lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ( n ) ln ⁡ ( n + 1 ) < 1

Ou seja:

x 1 1 < 1 → x < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < x < 1

Logo, quando x = - 1 , temos:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n → s é r i e   a l t e r n a d a   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 1 , temos:

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 1 ≤ x < 1

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 1 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 1 ≤ x < 1

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 1 .

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