Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 4
Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício vamos analisar a convergência da série .
Podemos observar que esta série é alternada porque o termo , que alterna os sinais dos termos da série. Por isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada para determinar sua convergência.
O teste da série alternada diz que uma série converge se:
- é uma sequência decrescente.
- .
Passo 2
Vamos verificar se é decrescente. Neste caso, podemos observar que à medida que cresce, cresce mais rapidamente que , fazendo com que a função seja decrescente.
Para mostrar isso de maneira mais clara, vamos comparar com :
Precisamos mostrar que :
Multiplicando cruzado para comparar, temos:
Depois de eliminar os termos semelhantes e organizar a desigualdade, ficaremos com:
Esta desigualdade é verdadeira para , o que mostra que é decrescente para .
Passo 3
Agora, vamos verificar se
Dividindo o numerador e denominador por , temos:
Colocando o termo em evidência no numerador, temos:
Quando cresce, e tendem a 0. Portanto, a expressão se simplifica para:
Portanto, o limite de quando tende ao infinito, é 0:
Como os dois critérios do teste da série alternada foram satisfeitos, então a série é convergente.
Resposta
Pelo teste da série alternada a série é convergente.